专题2.3 三角函数与三角形 - 2021届高三数学三轮复习专题突破 （浙江专用）

专题2.3 三角函数与三角形 1. 忽视三角函数的定义域导致错误 研究三角函数图象和性质时，涉及正切函数问题，要注意其自身对自变量的限制，否则极易出错. 例1.（2020·全国高三专题练习）求函数的最小正周期． 点评：本题考查二倍角公式、正切型函数的图象、定义域和周期等基本知识，注意函数的定义域并利用数形结合思想解题. 2. 三角函数的符号致误 进行三角运算时，正确使用同角三角函数间的基本关系，诱导公式及两角和与差的三角公式是关键，同时一定要注意三角函数符号的判断. 例2.（2020·河北石家庄一中高一期末）已知函数，，是函数的零点，且的最小值为. （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）设，若，，求的值. 点评：本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系、诱导公式以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力.正确应用公式，注意角的范围来正确确定三角函数值的符号是关键. 3.三角函数的图象变换致误 三角函数的图象变换中的左右平移变换的方向与符号的对应关系是极易搞混的，还有就是平移的单位数问题也是容易错误的地方，再就是在审题上容易出现错误的情况． 例3. （2020·全国高三专题练习）要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ） A．先将每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向右平移个单位． B．先将每个值缩小到原来的倍，值不变，再向左平移个单位． C．先把每个值扩大到原来的4倍，值不变，再向左平移个单位． D．先把每个值缩小到原来的倍，值不变，再向右平移个单位． 点评：由的图象变换出 的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换,利用图象的变换作图象时，提倡先平移后伸缩，但先伸缩后平移也经常出现无论哪种变形，请切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角变化”多少. 途径一：先平移变换再周期变换(伸缩变换)先将的图象向左或向右平移个单位，再将图象上各点的横坐标变为原来的倍()，便得的图象. 途径二：先周期变换(伸缩变换)再平移变换：先将的图象上各点的横坐标变为原来的倍()，再沿轴向左()或向右()平移个单位，便得的图象. 正确利用图象的平移和伸缩变换以及三角函数的图象与性质解决问题 4.三角恒等变形中变角、变名、变号致误 利用三角恒等变形公式，对三角函数式进行化简、求值、证明的过程中，往往因为公式记忆不准确，或变角、变名、变号不当而导致错解． 例4.（2020·黑龙江哈尔滨三中高三月考（理））若，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 点评：本题考查利用两角和的余弦公式求值，解决这类求值问题需要注意以下两点： ①利用同角三角平方关系求值时，要求对象角的范围，确定所求值的正负； ②利用已知角来配凑未知角，然后利用合适的公式求解． 5.忽视角的范围 确定三角函数式的性质，往往需要先化简，化简过程中，三角函数公式易于出错，另外，当给定角的范围时，也易于因忽视这一点而导致错误. 例5. （2021·山东青岛市·高三期末）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，若，. （1）用表示，； （2）求取最大值时的值. 点评：本题考查的知识点比较多，主要考查二倍角公式、两角差的正弦公式及三角函数的图象和性质，属于中档题.（2）小题中如果忽视角A范围，将导致错误.求与三角函数有关的最值常用方法有以下几种：①化成的形式利用配方法求最值；②形如的可化为的形式利用三角函数有界性求最值；③型，可化为求最值 .本题（1）是利用方法③的思路解答的. 6.解三角形时忽视隐含条件致误 解三角形时不仅要正确使用正弦定理和余弦定理，还应注意：内角和定理，大边对大角，大角对大边，任两边之和大于第三边，任两边之差小于第三边等，若不注意这些是及易犯错的． 例6.（2020·全国高三专题练习）在△ABC中，已知，B=45°， 求A、C及c 点评：1.正弦定理的简单应用，一般是根据正弦定理求边或列等式．余弦定理揭示的是三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，若题目中给出的关系式是“平方”关系，此时一般考虑利用余弦定理进行转化． 2.在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更适合，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果遇到的式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到． 3.在解三角形的问题中，三角形内角和定理起着重要作用，在解题中要注意根据这个定理确定角的范围及三角函数值的符号，防止出现增解或漏解． 7.知识交汇不顺畅 三角函数及解三角形问题与其它知识的交汇，主要有：与平面向量交汇、与立体几何交汇、与平面几何交汇、与导数交