专题1.5 母题突破3 零点问题-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

母题突破3　零点问题 母题　(2020·福州模拟)已知函数f(x)＝ln x＋有零点，求实数a的取值范围． 思路分析一 ❶fx有零点 　　　↓ ❷fx的性质、草图 　　　↓ ❸求导，确定fx的性质 思路分析二 ❶fx有零点 　　　↓ ❷a＝－xln x有解 　　　↓ ❸直线y＝a和曲线φx＝－xln x有交点 　　　↓ ❹求导确定φx的性质、草图 解　方法一　f′(x)＝－＝，x>0， ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝ln 1＋a＝a≤0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有1个零点． ②当a>0，则x∈(0，a)时，f′(x)<0；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增． 当x＝a时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝ln a＋1， 则ln a＋1≤0，即0<a≤， 又f(1)＝ln 1＋a＝a>0， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有零点． 综上所述，实数a的取值范围为. 方法二　由f(x)＝ln x＋有零点可得， a＝－xln x有解， 设φ(x)＝－xln x，则φ′(x)＝－ln x－1， 令φ′(x)<0，得x>； 令φ′(x)>0，得0<x<， 所以φ(x)＝－xln x在上单调递增，在上单调递减，且x→0时，φ(x)→0，x→＋∞时，φ(x)→－∞， 画出φ(x)＝－xln x的草图如图所示，当a≤时，a＝－xln x有解， 所以实数a的取值范围是. [子题1]　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2)． (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围． 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增． (2)f′(x)＝ex－a. ①当a≤0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增． 故f(x)至多存在一个零点，不合题意． ②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增． 故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a)． (ⅰ)若0<a≤，则f(ln a)≥0，f(x)在(－∞，＋∞)上至多存在一个零点，不合题意． (ⅱ)若a>，f(ln a)<0. 因为f(－2)＝e－2>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点． 由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0. 所以当x>4且x>2ln(2a)时，f(x)＝·－a(x＋2)>eln(2a)·－a(x＋2)＝2a>0. 故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点． 从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点． 综上，a的取值范围是. [子题2]　已知函数f(x)＝ln x＋x，方程x2＝2mf(x)(m>0)有唯一实数解，求m. 解　因为方程2mf(x)＝x2有唯一实数解， 所以x2－2mln x－2mx＝0有唯一实数解， 设g(x)＝x2－2mln x－2mx， 则g′(x)＝， 令g′(x)＝0，即x2－mx－m＝0. 因为m>0，x>0， 所以x1＝<0(舍去)， x2＝>0， 当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上单调递减， 当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0， g(x)在(x2，＋∞)上单调递增， 当x＝x2时，g′(x)＝0，g(x)取最小值g(x2)， 则即 所以2mln x2＋mx2－m＝0， 因为m>0， 所以2ln x2＋x2－1＝0，(*) 设函数h(x)＝2ln x＋x－1，h′(x)＝＋1， 因为当x>0时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)＝0至多有一解， 因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1， 即＝1，解得m＝. 规律方法　解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导． (2)分析函数的单调性，极值情况． (3)结合函数性质画函数的草图． (4)依据函数草图确定函数零点情况． 跟踪演练 1．(2019·全国Ⅱ改编)已知函数f(x)＝ln x－.讨论f(x)的单调性，并证明f(x)有且仅有两个零点． 解　f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞)． 因为f′(x)＝＋>0， 所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增． 因为f(e)＝1－＝<0， f(e2)＝2－＝>0，