专题1.5 母题突破2 恒成立问题与有解问题-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

母题突破2　恒成立问题与有解问题 母题　(2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0. (1)求b； (2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围． 2思路分析 ❶存在x0≥1，使得fx0< 　　　↓ ❷fxmin< 　　　↓ ❸求fxmin 解　(1)f′(x)＝＋(1－a)x－b. 由题设知f′(1)＝0，解得b＝1. (2)f(x)的定义域为(0，＋∞)， 由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x， f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1)． ①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为 f(1)<，即－1<， 解得－－1<a<－1. ②若<a<1，则>1， 故当x∈时，f′(x)<0， 当x∈时，f′(x)>0，f(x)在上单调递减，在上单调递增． 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为f <. 而f ＝aln ＋＋>， 所以不符合题意． ③若a>1，则f(1)＝－1＝<. 综上，a的取值范围是(－－1，－1)∪(1，＋∞)． [子题1]　已知函数f(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x.当a>0时，对于∀x∈[1，＋∞)，不等式f(x)>1－a2恒成立，求实数a的取值范围． 解　令g(x)＝f(x)＋a2－1(x≥1)， 则g′(x)＝f′(x)＝. ①当0<<1，即0<a<2时，当x∈[1，＋∞)时， 有g′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)， ∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝a2－a－2＝(a－2)(a＋1)<0，不符合题意． ②当＝1，即a＝2时， g′(x)＝(x－1)2≥0(当且仅当x＝1时取等号)， ∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝0，不符合题意． ③当>1，即a>2时，g(x)在上单调递减，在上单调递增， ∴g(x)min＝g＝aln ＋－a－1， 令h(x)＝xln ＋－x－1，x>2， 则h′(x)＝ln ＋x. 当x>2时，h′(x)>0， ∴h(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(2)＝0. ∴g(x)≥g>0恒成立，满足题意． 综上所述，实数a的取值范围是(2，＋∞)． [子题2]　(2020·北京市西城区师范大学附属实验中学模拟)已知x＝为函数f(x)＝xaln x的极值点． (1)求a的值； (2)设函数g(x)＝，若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，求k的取值范围． 解　(1)f′(x)＝axa－1ln x＋xa·＝xa－1(aln x＋1)， f′＝a－1＝0，解得a＝2， 当a＝2时，f′(x)＝x(2ln x＋1)，函数f(x)在上单调递减，在上单调递增， 所以x＝为函数f(x)＝xaln x的极小值点， 因此a＝2. (2)由(1)知f(x)min＝f ＝－，函数g(x)的导函数g′(x)＝k(1－x)e－x. ①当k>0时， 当x<1时，g′(x)>0，g(x)在(－∞，1)上单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减， 对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2＝－，使得g(x2)＝g＝<－1<－≤f(x1)，符合题意． ②当k＝0时，g(x)＝0，取x1＝，对∀x2∈R有f(x1)－g(x2)<0，不符合题意． ③当k<0时， 当x<1时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上单调递减；当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增， g(x)min＝g(1)＝， 若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0，只需g(x)min≤f(x)min，即≤－，解得k≤－. 综上所述，k∈∪(0，＋∞)． 规律方法　(1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题． ②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围． (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别． 跟踪演练 1．(2020·全国Ⅱ改编)已知函数f(x)＝2ln x＋1.若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围． 解　设h(x)＝f(x)－2x－c， 则h(x)＝2ln x－2x＋1－c， 其定义域为(0，＋∞)，h′(x)＝－2. 当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0. 所以h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减． 从而当x＝1时，h(x)取