专题1.5 母题突破1 导数与不等式的证明-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

第5讲　导数的综合应用 [考情分析]　1.导数逐渐成为解决问题必不可少的工具，利用导数研究函数的单调性与极值(最值)是高考的常见题型，而导数与函数、不等式、方程、数列等的交汇命题是高考的热点和难点.2.多以解答题压轴形式出现，难度较大． 母题突破1　导数与不等式的证明 母题　(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝ln x＋ax2＋(2a＋1)x. (1)讨论f(x)的单调性； (2)当a<0时，证明f(x)≤－－2. 2思路分析 ❶fx≤－－2 　　　↓ ❷fxmax≤－－2 　　　↓ ❸fxmax＋＋2≤0 　　　↓ ❹构造函数证明 (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， f′(x)＝＋2ax＋2a＋1＝. 若a≥0，则当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0， 故f(x)在(0，＋∞)上单调递增． 若a<0，则当x∈时，f′(x)>0； 当x∈时，f′(x)<0. 故f(x)在上单调递增，在上单调递减． (2)证明　由(1)知，当a<0时，f(x)在x＝－处取得最大值，最大值为f ＝ln－1－， 所以f(x)≤－－2等价于ln－1－≤－－2， 即ln＋＋1≤0. 设g(x)＝ln x－x＋1，则g′(x)＝－1. 当x∈(0,1)时，g′(x)>0； 当x∈(1，＋∞)时，g′(x)<0. 所以g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减． 故当x＝1时，g(x)取得最大值，最大值为g(1)＝0. 所以当x>0时，g(x)≤0. 从而当a<0时，ln＋＋1≤0， 即f(x)≤－－2. [子题1]　设函数f(x)＝ln x－x＋1.证明：当x∈(1，＋∞)时，1<<x. 证明　f′(x)＝－1＝，x>0， 当x>1时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当0<x<1时，f′(x)>0，f(x)单调递增， ∴f(x)＝ln x－x＋1≤f(1)＝0，∴ln x≤x－1， ∴当x>1时，ln x<x－1，① 且ln <－1，② 由①得，1<，由②得，－ln x<， ∴ln x>，∴x>， 综上所述，当x>1时，1<<x. [子题2]　已知函数f(x)＝ex－x2.求证：当x>0时，≥ln x＋1. 证明　设g(x)＝f(x)－(e－2)x－1＝ex－x2－(e－2)x－1(x>0)， 则g′(x)＝ex－2x－(e－2)， 设m(x)＝ex－2x－(e－2)(x>0)， 则m′(x)＝ex－2， 易得g′(x)在(0，ln 2)上单调递减，在(ln 2，＋∞)上单调递增， 又g′(0)＝3－e>0，g′(1)＝0， 由0<ln 2<1，则g′(ln 2)<0， 所以存在x0∈(0，ln 2)，使得g′(x0)＝0， 所以当x∈(0，x0)∪(1，＋∞)时，g′(x)>0； 当x∈(x0,1)时，g′(x)<0. 故g(x)在(0，x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， 又g(0)＝g(1)＝0，所以g(x)＝ex－x2－(e－2)x－1≥0， 故当x>0时，≥x. 又由母题可得ln x≤x－1，即x≥ln x＋1， 故≥ln x＋1. 规律方法　利用导数证明不等式f(x)>g(x)的基本方法 (1)若f(x)与g(x)的最值易求出，可直接转化为证明f(x)min>g(x)max. (2)若f(x)与g(x)的最值不易求出，可构造函数h(x)＝f(x)－g(x)，然后根据函数h(x)的单调性或最值，证明h(x)>0. (3)通过题目中已有的或常用的不等式进行证明． (4)利用赋值法证明与正整数有关的不等式. 跟踪演练 1．(2018·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝aex－ln x－1. (1)设x＝2是f(x)的极值点，求a，并求f(x)的单调区间； (2)证明：当a≥时，f(x)≥0. (1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝aex－. 由题设知，f′(2)＝0，所以a＝. 从而f(x)＝ex－ln x－1，f′(x)＝ex－. 当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2时，f′(x)>0. 所以f(x)的单调递增区间为(2，＋∞)，单调递减区间为(0,2)． (2)证明　当a≥时，f(x)≥－ln x－1. 设g(x)＝－ln x－1(x∈(0，＋∞))， 则g′(x)＝－. 当0<x<1时，g′(x)<0；当x>1时，g′(x)>0. 所以x＝1是g(x)的最小值点． 故当x>0时，g(x)≥g(1)＝0. 因此，当a≥时，f(x)≥0. 2．(2020·北京市陈经纶中学模拟)已知函数f(x)＝－ax.若1<a<2，求证：f(x)<－1. 证明　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 为了证明f(x)<－1，即－ax<－1， 只需证明ln x－1－ax2<－x，即ln x<