专题1 培优点3 导数中函数的构造问题-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

培优点3　导数中函数的构造问题 导数问题中已知某个含f′(x)的不等式，往往可以转化为函数的单调性，我们可以根据不等式的形式构造适当的函数求解问题． 例1　(1)f(x)是定义在R上的偶函数，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，且f(－4)＝0，则不等式xf(x)>0的解集为________________． 答案　(－∞，－4)∪(0,4) 解析　构造F(x)＝xf(x)，则F′(x)＝f(x)＋xf′(x)，当x<0时，f(x)＋xf′(x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减，∵f(x)为偶函数，∴F(x)＝xf(x)为奇函数，∴F(x)在(0，＋∞)上也单调递减．根据f(－4)＝0可得F(－4)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf(x)>0的解集为(－∞，－4)∪(0,4)． (2)设f(x)是定义在R上的奇函数，在(－∞，0)上有2xf′(2x)＋f(2x)<0，且f(－2)＝0，则不等式xf(2x)<0的解集为________________． 答案　(－1,0)∪(0,1) 解析　构造F(x)＝xf(2x)，则F′(x)＝2xf′(2x)＋f(2x)，当x<0时，2xf′(2x)＋f(2x)<0，可以推出当x<0时，F′(x)<0，F(x)在(－∞，0)上单调递减， ∵f(x)为奇函数，∴F(x)＝xf(2x)为偶函数， ∴F(x)在(0，＋∞)上单调递增，根据f(－2)＝0可得F(－1)＝0，根据函数的单调性、奇偶性可得函数图象(图略)，根据图象可知xf(2x)<0的解集为(－1,0)∪(0,1)． 例2　(1)定义在R上的函数f(x)满足f′(x)>f(x)恒成立，若x1<x2，则f(x2)与f(x1)的大小关系为(　　) A．f(x2)>f(x1) B．f(x2)<f(x1) C．f(x2)＝f(x1) D．f(x2)与f(x1)的大小关系不确定 答案　A 解析　设g(x)＝， 则g′(x)＝＝. 由题意得g′(x)>0，所以g(x)在R上单调递增， 当x1<x2时，g(x1)<g(x2)，即<， 所以f(x2)>f(x1)． (2)已知定义在上的函数f(x)，f′(x)是它的导函数，且恒有f(x)<f′(x)tan x成立，则(　　) A.f >f  B．f(1)<2f sin 1 C.f >f  D.f <f  答案　D 解析　构造函数g(x)＝， 则g′(x)＝， 由已知可得，当x∈时，g′(x)>0，g(x)为增函数， ∴g<g，即<， ∴f <f . (1)构造函数xf(x)，：当条件中含“＋”时优先考虑xf(x)；当条件中含“－”时优先考虑. (2)构造函数：条件中含“xf′(x)－nf(x)”的形式； 构造函数xf(nx)：条件中含“nxf′(nx)＋f(nx)”的形式． (3)构造函数：条件中含“f′(x)－f(x)”的形式． (4)构造函数：条件中含“f′(x)sin x－f(x)cos x”的形式． 1．已知f(x)为R上的可导函数，且∀x∈R，均有f(x)>f′(x)，则以下判断正确的是(　　) A．f(2 021)>e2 021f(0) B．f(2 021)<e2 021f(0) C．f(2 021)＝e2 021f(0) D．f(2 021)与e2 021f(0)的大小关系无法确定 答案　B 解析　令函数g(x)＝，则g′(x)＝. ∵f(x)>f′(x)，∴g′(x)<0， 即函数g(x)在R上单调递减， ∴g(2 021)<g(0)，∴<， ∴f(2 021)<e2 021f(0)．故选B. 2．已知f(x)是定义在R上的减函数，其导函数f′(x)满足＋x<1，则下列结论正确的是(　　) A．对于任意x∈R，f(x)<0 B．对于任意x∈R，f(x)>0 C．当且仅当x∈(－∞，1)时，f(x)<0 D．当且仅当x∈(1，＋∞)时，f(x)>0 答案　B 解析　因为函数f(x)是定义在R上的减函数，所以f′(x)<0.因为＋x<1，所以f(x)＋xf′(x)>f′(x)， 所以f(x)＋(x－1)f′(x)>0，构造函数g(x)＝(x－1)·f(x)，则g′(x)＝f(x)＋(x－1)f′(x)>0，所以函数g(x)在R上单调递增，又g(1)＝(1－1)f(1)＝0，所以当x<1时，g(x)<0，所以f(x)>0；当x>1时，g(x)>0，所以f(x)>0.因为f(x)是定义在R上的减函数，所以f(1)>0.综上，对于任意x∈R，f(x)>0，故选B. 3．设f(x)是定义在R上的偶函数，且f(1)＝0，当x<0时，有xf′(x)－f(x)>0恒成立，则不等式f(x)>0的解集为________