专题1 培优点2 基本不等式的综合问题-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略（全国III）桂贵云川藏word

培优点2　基本不等式的综合问题 利用基本不等式求最值时，要坚持“一正、二定、三相等”原则，解题时可以对条件灵活变形，满足求最值的条件要求． 例1　(1)已知x2＋y2＋xy＝1，则x＋y的最大值是_________． (2)设x≥0，y≥0，x2＋＝1，则x·的最大值为________． (3)已知x>0，y>0，＋＝2，则2x＋y的最小值为________． 答案　(1)　(2)　(3)3 解析　(1)由(x＋y)2＝xy＋1， 得(x＋y)2≤2＋1， 则x＋y≤(当且仅当x＝y＝时取等号)， 故x＋y的最大值为. (2)x·＝x· ≤·＝· ＝， 故x·的最大值为. (3)∵2x＋(y＋1)＝[2x＋(y＋1)] ＝≥4， ∴2x＋y＝2x＋(y＋1)－1≥3(当且仅当x＝1，y＝1时取等号)，故2x＋y的最小值为3. 例2　记max{a，b}为a，b两数的最大值，则当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为________． 答案　10 解析　方法一　由题意知t≥x2，t≥， ∴2t≥x2＋， 又∵x2＋≥x2＋＝x2＋ ≥20，∴2t≥20，即t≥10. ∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10. 方法二　由题意知t≥x2>0，t≥>0， ∴t2≥x2·， 又∵x2·≥x2·＝x2· ＝100，∴t2≥100，即t≥10. ∴当正数x，y(x>y)变化时，t＝max的最小值为10. (1)运用基本不等式求最值时，可通过配凑变量的系数或加减常数项出现定值，满足基本不等式求最值的条件． (2)将目标函数式中的常数用已知式进行等量代换，或者将目标函数式与已知代数式相乘，然后通过化简变形，求得目标函数的最值． 1．若正数a，b满足＋＝1，则＋的最小值是(　　) A．1 B．6 C．9 D．16 答案　B 解析　∵正数a，b满足＋＝1， ∴b＝>0，解得a>1.同理可得b>1， ∴＋＝＋ ＝＋9(a－1)≥2＝6， 当且仅当＝9(a－1)，即a＝时等号成立， ∴所求最小值为6. 2．函数y＝＋的最大值是________． 答案　2 解析　y2＝(＋)2 ＝4＋2 ≤4＋(2x－1)＋(5－2x)＝8， 又y>0，所以0<y≤2，当且仅当2x－1＝5－2x，即x＝时取等号．故函数的最大值是2. 3．(2020·天津)已知a>0，b>0，且ab＝1，则＋＋的最小值为________． 答案　4 解析　因为a>0，b>0，ab＝1， 所以原式＝＋＋ ＝＋≥2＝4， 当且仅当＝， 即a＋b＝4时，等号成立． 故＋＋的最小值为4. $