第1章 专题6 线面垂直与面面垂直的判定及性质（课堂讲义）-高考数学满分突破秒杀压轴题系列2

学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 22 专题 6 线面垂直与面面垂直的判定及性质 一、直线与平面垂直 1．直线和平面垂直的定义 直线 l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线 l与平面α互相垂直 2．性质定理与判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与平面内的两条相交直 线都垂直，则该直线与此平面垂 直 推论 如果在两条平行直线中，有一条 垂直于平面，那么另一条直线也 垂直这个平面 性质定理 垂直于同一个平面的两条直线平 行 二、平面与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判定定理 一个平面过另一个平面的一条垂 线，则这两个平面互相垂直 性质定理 两个平面互相垂直，则一个平面 内垂直于交线的直线垂直于另一 个平面 【例 1】给出下列四个命题：①垂直于同一平面的两条直线相互平行；②垂直于同一平面的两个平面相互平 行；③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；④若一条直线垂直于 一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面．其中真命题的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】命题①，④为真，命题②，③为假．故选 B． 【例 2】直线 l不垂直于平面α，则α内与 l垂直的直线有（ ） 学习数学 领悟数学 秒杀数学 第一章 立体几何 23 A．0条 B．1条 C．无数条 D．α内所有直线 【解析】可以有无数条．故选 C． 【例 3】设α、β、γ为彼此不重合的三个平面，l为直线，给出下列命题：①若α∥β，α⊥γ，则β⊥γ；②若α⊥γ， β⊥γ，且α∩β＝l，则 l⊥γ；③若直线 l与平面α内的无数条直线垂直，则直线 l与平面α垂直；④若α内存在 不共线的三点到β的距离相等，则平面α平行于平面β．上面命题中，真命题的序号为________（写出所有真 命题的序号）． 【解析】③中 l∥α也满足，④中α与β可能相交．答案：①②． 【例 4】如图，在三棱锥 ABCD  中，若 CBAB  ， CDAD  ， E是 AC的中点，则下列命题中正确的有 ．（填序号）①平面 ABC⊥平面 ABD；②平面 ABD⊥平面 BCD；③平面 ABC⊥平面 BDE，且平 面 ACD⊥平面 BDE；④平面 ABC⊥平面 ACD，且平面 ACD⊥平面 BDE． 【解析】因为 AB＝CB，且 E是 AC的中点，所以 BE⊥AC，同理有 DE⊥AC，于是 AC⊥平面 BDE．因为 AC⊂平面 ABC，所以平面 ABC⊥平面 BDE．又由于 AC⊂平面 ACD，所以平面 ACD⊥平面 BDE．故只有 ③正确． 几个常用的结论： （1）过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直； （2）过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直； （3）垂直于同一平面的两条直线互相平行； （4）垂直于同一直线的两个平面互相平行． 【例 5】（2011•浙江）下列命题中错误的是（ ） A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么 l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β 【解析】对于命题 A，在平面α内存在直线 l平行于平面α与平面β的交线，则 l平行于平面β，故命题 A正确． 对于命题 B，若平面α内存在直线垂直于平面β，则平面α与平面β垂直，故命题 B正确． 对于命题 C，设α∩γ＝m，β∩γ＝n，在平面γ内取一点 P不在 l上，过 P作直线 a，b，使 a⊥m，b⊥n．∵γ⊥α， a⊥m，则 a⊥α，∴a⊥l，同理有 b⊥l．又 a∩b＝P，a⊂γ，b⊂γ，∴l⊥γ．故命题 C正确． 对于命题 D，设α∩β＝l，则 l⊂α，但 l⊂β．故在α内存在直线不垂直于平面β，即命题 D错误．故选 D． 【例 6】设 a、b是两条不同的直线， 、  是两个不同的平面，则下列四个命题： ①若 ba  ， a ， b ，则 αb // ；②若 αa // ， a ，则   ；③若 a ，   ，则 αa // 或 a ； ④若 ba  ， a ， b ，则   ． 其中正确命题的个数为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】通过线面垂直及平行的判定定理和性质定理，可以判断四个命题都正确．故选 D． $