专题1.16 导数-不等式的证明-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.16 导数-不等式的证明 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．利用导数证明不等式问题，方法如下： （1）直接构造函数法：证明不等式（或）转化为证明（或），进而构造辅助函数； （2）适当放缩构造法：一是根据已知条件适当放缩；二是利用常见放缩结论； （3）构造“形似”函数，稍作变形再构造，对原不等式同解变形，根据相似结构构造辅助函数． 1．已知函数为常数）． （1）若曲线在处的切线方程为，求，的值； （2）讨论函数函数的单调性； （3）当，时，求证：． 【试题来源】2021届高三数学二轮复习 【答案】（1），；（2）答案见解析；（3）证明见解析． 【分析】（1）算出曲线在处的切线方程，然后与比较系数即可； （2）分和讨论即可；（3）构造函数，利用导数证明即可． 【解析】（1），（1），（1）， 曲线在处的切线方程为， 即，由题意：，，，； （2），设， 当时，在上恒成立； 当时，令，即，解得， 令，即，解得． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在，上单调递增，在，上单调递减． （3）证明：令， 则，令， 则，令得 令得， 在上单调递减，在上单调递增 ，（1）（1），， ，存在使， 且当或时，， 当，时，， 在上递增，在，上递减，在上递增， 又（1），所以有：，即， ． 【名师点睛】证明不等式 或转化为证明或，进而构造辅助函数． 2．已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若对一切实数，都有恒成立，求的取值范围． （3）求证：，． 【试题来源】2021届高三数学二轮复习 【答案】（1）答案见解析；（2）1；（3）证明见解析． 【解析】（1）由， ①当时，显然； ②当时，由得，显然当时，； 所以当时，在上单调递增； 当时，在上递增； （2）由（1）知，当时，递增，且，不合题意，舍去． 当时，由（1）知，当时，，当时， 所以当时，有极小值也是最小值，即， 依题意，① 再令（a），，则（a）， 于是（a）时，， 同理知当时，（a）有极大值也是最大值， 所以（a）（1）② 比较①②式可得，（a），即为所求． （3）由（2）知对，有， 于是令，则有 即有，即（当且仅当时取等号） 所以有 即，即证． 【名师点睛】解决恒成立问题一般转化为； 关键点【名师点睛】第三问只需让左边的通项小于右边的通项，借助于题目中的不等式进行赋值，转化为是关键． 3．已知函数． （1）讨论函数的单调区间； （2）若当时，，求证：． 【试题来源】江西省重点中学协作体（鹰潭一中、上饶中学等）2021届高三下学期第一次联考 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）对函数求导，分和两种情况，结合函数的定义域得出函数的单调性；（2）要证，由于，即证．令，对函数求导并化简，构造二次求导，令分子为，利用导数判断出单调性和最小值，得出函数的单调性，由零点存在定理知极小值即为最小值，利用导数判断出最小值的范围，命题得证． 【解析】（1）， 当，定义域为，令，得，得 在单调递增，在单调递减 当，定义域为，令，得，得 在单调递增，在单调递减 （2）要证，，即证． 令，则 ， 设，则， 令，其中，． 当时，，此时函数单调递减； 所以，，则对任意的，， 所以，函数在上为增函数， 因为，，由零点存在定理可知，存在 使得，可得． 当时，，即，此时函数单调递减； 当时，，即，此时函数单调递增． ， 令， 则函数在时单调递减， 所以，，所以， 因此，对任意的，，即． 4．已知函数，曲线在点处的切线方程为． （1）求，的值； （2）证明：． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练 【答案】（1），；（2）证明见解析． 【分析】（1）根据切线方程，可得，，对求导，根据导数的几何意义，可得表达式，将x=1代入，可得，即可求得，的值； （2）将题干条件等价于，设，求导可得，设，可得的零点，即可得的单调区间和极值点，进而可得的最小值，化简整理，即可得证． 【解析】（1）由切线方程可得，． 定义域为，． 所以，，解得，． （2）等价于． 设，则． 设，则函数在单调递增， 因为，，所以存在唯一，使． 因为符号与符号相同，所以当时，， 当时，． 故在单调递减，在单调递增． 所以当时，取得最小值， 由得，从而， 故．所以． 【名师点睛】解题的关键是熟练掌握利用导数求切线方程、单调性、极（最）值的方法，并灵活应用，难点在于需找到的零点，可得的极值点，进而求得的极小值，即为最小