第一章 集合与常用逻辑用语-【成才之路】2020-2021学年高中新教材新课程数学必修一同步学习指导（人教B版）

数学（必修·第一册 ＲＪＢ） 学案部分　 详解答案 [学案部分] 第一章　 集合与常用逻辑用语 １. １　 集合 １. １. １　 集合及其表示方法 第 １ 课时　 集合的概念 必备知识􀅰探新知 基础知识 　 　 １. (１)对象　 (３)确定性 思考 １:(１)比较聪明的同学的姓名不能具体说出来ꎬ因为聪明与否 没有明确的标准ꎻ而所在班级中女生的姓名是明确的. (２)今天我们研究的“集合”这一新概念ꎬ是必须由一些确定的对象 构成的. 也就是说上述所说的聪明的同学是不能构成集合的. 因为聪明 是没有明确划分标准的. 　 　 ２. ａ∈Ａ　 ａ∉Ａ 思考 ２:对于一个元素 ａ 与一个集合 Ａ 而言ꎬ只有“ａ∈Ａ” 与“ａ∉Ａ” 这两种关系. 　 　 ３. ⌀ 思考 ３:由空集的定义可知ꎬａ∉⌀. ６. Ｎ　 Ｎ∗ 或 Ｎ ＋ 基础自测 １. ①④　 ①能组成集合. 其中的元素需满足三条边相等. ②不能组成集 合. 因为“难题”的标准是模糊的ꎬ不确定的ꎬ故不能组成集合. ③不能 组成集合. 因为“比较接近 １”的标准不明确ꎬ所以元素不确定ꎬ故不能 组成集合. ④能组成集合. 其中的元素是“ 该校高一年级 １６ 岁以下的 学生”. ２. ①④　 Ｎ 表示自然数集ꎬＱ 表示有理数集ꎬＺ 表示整数集ꎬＲ 表示实数 集ꎬ故 ０∈Ｎꎬπ∉Ｑꎬ ２∉Ｑꎬ － １∈Ｚꎬ ２∈Ｒ. ３. ２　 由 ｘ２ － １ ＝ ０ꎬ得 ｘ ＝ ± １ꎻ由 ｘ ＋ １ ＝ ０ꎬ得 ｘ ＝ － １ꎬ故集合中只有 ２ 个 元素 １ 和 － １. ４. １ 或 ３　 ∵ ２∈Ａꎬ∴ ２ ＝ ａ － １ 或 ２ ＝ ２ａ. 若 ２ ＝ ａ － １ꎬ则 ａ ＝ ３. 此时集合 Ａ 中含有两个元素 ２ꎬ６ꎬ符合题意ꎻ 若 ２ ＝ ２ａꎬ则 ａ ＝ １ꎬ此时集合 Ａ 中含有两个元素 ０ꎬ２ꎬ符合题意. 综上所述ꎬ实数 ａ 的值为 ３ 或 １. 关键能力􀅰攻重难 　 　 典例 １:(１)能ꎬ因为男队员是确定的. (２)能ꎬ因为 ｘ２ － １ ＝ ０ 的所有实根为 － １ꎬ１ꎬ满足集合中元素的确定 性. (３)不能ꎬ“近似值”无明确标准ꎬ故构不成集合. (４)能ꎬ因为大于 ０ 的整数是确定的. 　 　 对点训练 １:①③　 ②中由于“ 较胖” 的标准不明确ꎬ不满足集合元 素的确定性ꎬ所以②错误ꎻ④中大于 ２ ０１４ 且小于 ２ ０１９ 的所有整数能组 成集合ꎬ所以④错误. 　 　 典例 ２:(１)Ａ　 (２)Ａ　 (１)Ａ 中 ａ ＝ ０ 时ꎬ显然不成立. (２)ａ ＝ ２ ＋ ３ < ４ ＋ ４ ＝ ４ < ５ꎬ所以 ａ∈Ａ. ａ ＋ １ < ４ ＋ ４ ＋ １ ＝ ５ꎬ 所以 ａ ＋ １∈Ａꎬａ２ ＝ ( ２)２ ＋ ２ ２ × ３ ＋ ( ３)２ ＝ ５ ＋ ２ ６ > ５ꎬ所以 ａ２ ∉Ａꎬ １ ａ ＝ １ ２ ＋ ３ ＝ ３ － ２ ( ２ ＋ ３)( ３ － ２) ＝ ３ － ２ < ５ꎬ 所以 １ ａ ∈Ａ. 　 　 对点训练 ２:Ｂ　 １ ２ 是实数ꎻ ２是无理数ꎻ ｜ － ３ ｜ ＝ ３ 是自然数ꎻ ｜ － ３ ｜ ＝ ３是无理数ꎻ０ 是自然数. 故①②正确ꎬ③④⑤不正确. 　 　 典例 ３:由题意可知ꎬｘ － ２ ＝ － ３ 或 ２ｘ２ ＋ ５ｘ ＝ － ３. 当 ｘ － ２ ＝ － ３ 时ꎬｘ ＝ － １ꎬ 把 ｘ ＝ － １ 代入 ２ｘ２ ＋ ５ｘꎬ得集合的三个元素分别为 － ３ꎬ － ３ꎬ１２ꎬ不 满足集合中元素的互异性ꎻ 当 ２ｘ２ ＋ ５ｘ ＝ － ３ 时ꎬｘ ＝ － ３ ２ 或 ｘ ＝ － １(舍去)ꎬ 当 ｘ ＝ － ３ ２ 时ꎬ集合的三个元素分别为 － ７ ２ ꎬ － ３ꎬ１２ꎬ满足集合中 元素的互异性ꎬ故 ｘ ＝ － ３ ２ . 　 　 对点训练 ３:∵ － ３ 是 Ａ 中的元素ꎬ ∴ － ３ ＝ ａ － ３ 或 － ３ ＝ ２ａ － １. 若 － ３ ＝ ａ － ３ꎬ则 ａ ＝ ０. 此时集合中含有两个元素 － ３ꎬ － １ꎬ符合要求ꎻ 若 － ３ ＝ ２ａ － １ꎬ则 ａ ＝ － １ꎬ 此时集合中含有两个元素 － ４ꎬ － ３ꎬ符合要求. 综上所述:满足题意的实数 ａ 的值为 ０ 或 － １. 课堂检测􀅰固双基 １. ＡＢＤ　 ２. Ｄ ３. (１)∉　 ∉　 ∈　 (２)∉　 ∈　 (３)∉　 ∈　 (４)∉　 ∈ 解析:(１)依次应填∉ꎬ∉ꎬ∈. (２)２ ３ ＝ １２ > １１. 因为(１ ＋ ２)２ ＝ ３ ＋ ２ ２ < １１ꎬ 所以 １ ＋ ２ < １１ꎬ所以依次应填∉ꎬ∈. (３)由于 ｎ 是正整数ꎬ所以 ｎ２ ＋ １≠３. 而当 ｎ ＝ ２ 时ꎬｎ２ ＋ １ ＝ ５ꎬ所以依次应填∉ꎬ∈. (４)由于集合 Ｄ 中的