第二章 等式与不等式-【成才之路】2020-2021学年高中新教材新课程数学必修一同步学习指导（人教B版）

新教材·高中新课程学习指导 则有 ４ － ａ < ａꎬ ４ － ａ≥１ꎬ ａ≤４ꎬ { 解得 ２ < ａ≤３ꎬ 即实数 ａ 的取值范围为 ２ < ａ≤３. 　 　 典例 ３:③④　 因为 ２ ０１９ ＝ ５ × ４０３ ＋ ４ꎬ所以 ２ ０１９∉[１]ꎬ故结论① 不正确ꎻ 因为 － ３ ＝ ５ × ( － １) ＋ ２ꎬ所以 － ３∈[２]ꎬ故结论②不正确ꎻ 因为所有的整数被 ５ 除所得余数只能为 ０ꎬ１ꎬ２ꎬ３ꎬ４ꎬ所以 Ｚ ＝ [０]∪ [１]∪[２]∪[３]∪[４]ꎬ故结论③正确ꎻ 设 ａ ＝ ５ｎ１ ＋ ｋ１ ꎬｂ ＝ ５ｎ２ ＋ ｋ２ (ｎ１ ꎬｎ２ ∈Ｚ)ꎬ若 ａ － ｂ∈[０]ꎬ则 ａ － ｂ ＝ ５(ｎ１ － ｎ２ ) ＋ (ｋ１ － ｋ２ )∈[０]ꎬ所以 ｋ１ ＝ ｋ２ ꎬ则整数 ａꎬｂ 属于同一“ 类”ꎬ 故结论④正确. 　 　 典例 ４:Ｂ　 方法一:利用维恩图ꎬ如图ꎬ由题意可知(Ａ☉Ｂ) ☉Ｂ 为阴 影部分所示ꎬ即{１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}. 方法二:由新定义的运算ꎬ得 Ａ☉Ｂ ＝ {１ꎬ２ꎬ５ꎬ６ꎬ７}ꎬ则(Ａ☉Ｂ) ☉Ｂ ＝ {１ꎬ２ꎬ５ꎬ６ꎬ７}☉{３ꎬ４ꎬ５ꎬ６ꎬ７} ＝ {１ꎬ２ꎬ３ꎬ４}. 　 　 典例 ５:充分不必要　 设 Ｕ ＝ {(ｘꎬｙ) ｜ ｘ∈Ｒꎬｙ∈Ｒ}. 命题 ｐ:ｘ ＋ ｙ≠８ꎬ对应集合为 Ａ ＝ {(ｘꎬｙ) ｜ ｘ ＋ ｙ≠８}ꎬ 命题 ｑ:ｘ≠２ 或 ｙ≠６ꎬ对应集合为 Ｂ ＝ {(ｘꎬｙ) ｜ｘ≠２ 或 ｘ≠６}ꎬ 命题􀱑 ｐ:ｘ ＋ ｙ ＝ ８ꎬ对应集合为∁ＵＡ ＝ {(ｘꎬｙ) ｜ ｘ ＋ ｙ ＝ ８}ꎬ 命题􀱑 ｑ:ｘ ＝ ２ 且 ｙ ＝ ６ꎬ对应集合为∁ＵＢ ＝ {(ｘꎬｙ) ｜ ｘ ＝ ２ 且 ｙ ＝ ６} ＝ {(２ꎬ６)}ꎬ 显然∁ＵＢ⫋∁ＵＡꎬ所以 Ａ⫋Ｂꎬ即 ｐ 是 ｑ 的充分不必要条件. 　 　 典例 ６:(１)由 Ｍ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜５ < ｘ≤８}ꎬ得 － ３≤ａ≤５ꎬ 因此 Ｍ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜５ < ｘ≤８}的充要条件是 － ３≤ａ≤５ꎬ 即 ａ 的取值范围为{ａ ｜ － ３≤ａ≤５}. (２)求实数 ａ 的一个值ꎬ使它成为 Ｍ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜５ < ｘ≤８} 的一个充分 但不必要条件ꎬ就是在集合{ａ ｜ － ３≤ａ≤５}中取一个值ꎬ如取 ａ ＝ ０ꎬ此时 必有 Ｍ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜５ < ｘ≤８}ꎻ反之ꎬＭ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜５ < ｘ≤８}未必有 ａ ＝ ０ꎬ故 ａ ＝ ０ 是所求的一个充分但不必要条件. (答案不唯一) (３)求实数 ａ 的取值范围ꎬ使它成为 Ｍ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜５ < ｘ≤８} 的一个必 要但不充分条件就是另求一个集合 Ｑꎬ使{ａ ｜ － ３≤ａ≤５} 是集合 Ｑ 的一 个真子集. 易知当 ａ≤５ 时ꎬ未必有 Ｍ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜ ５ < ｘ≤８}ꎬ但是 Ｍ∩Ｐ ＝ {ｘ ｜５ < ｘ≤８}时ꎬ必有 ａ≤５ꎬ故{ ａ ｜ ａ≤５} 是所求的一个 ａ 的取值集合. (答案不唯一) 　 　 典例 ７:(１)如图 １ 所示. ∵ Ａ∩Ｃ ＝ ⌀ꎬ 且 Ａ ＝ {ｘ ｜ － ４ < ｘ < ２}ꎬＣ ＝ {ｘ ｜ ｍ － １ < ｘ < ｍ ＋ １}ꎬ ∴ ｍ ＋ １≤ － ４ 或 ｍ － １≥２ꎬ解得 ｍ≤ － ５ 或 ｍ≥３. 故实数 ｍ 的取值范围是{ｍ ｜ ｍ≤ － ５ 或 ｍ≥３}. (２)∵ Ａ ＝ {ｘ ｜ － ４ < ｘ < ２}ꎬＢ ＝ {ｘ ｜ ｘ < － ５ 或 ｘ > １}ꎬ ∴ Ａ∩Ｂ ＝ {ｘ ｜１ < ｘ < ２}. 又(Ａ∩Ｂ)⊆Ｃꎬ如图 ２ 所示ꎬ ∴ ｍ － １≤１ꎬ ｍ ＋ １≥２ꎬ{ 解得 １≤ｍ≤２. 故实数 ｍ 的取值范围是{ｍ ｜１≤ｍ≤２}. 　 　 典例 ８:∵ Ａ ＝ {ｘ ｜ － ３ < ｘ < ５}ꎬＢ ＝ {ｘ ｜ － ４≤ｘ≤３}ꎬ ∴ Ａ∪Ｂ ＝ {ｘ ｜ － ４≤ｘ < ５}. ∵ ２ｘ － ３ａ － １ > ０ꎬ∴ ｘ > ３ａ ＋ １ ２ . 当 ３ａ ＋ １ ２ < － ４ꎬ即 ａ < － ３ 时ꎬ Ｃ∩(Ａ∪Ｂ) ＝ {ｘ ｜ － ４≤ｘ < ５}ꎻ 当 － ４≤３ａ ＋ １ ２ < ５ꎬ即 － ３≤ａ < ３ 时ꎬ Ｃ∩(Ａ∪Ｂ) ＝ {ｘ ｜３ａ ＋ １ ２ < ｘ < ５}ꎻ 当 ３ａ ＋ １ ２ ≥５ꎬ即 ａ≥３ 时ꎬＣ∩(Ａ∪Ｂ) ＝ ⌀. 综上可知ꎬ当 ａ < － ３ 时ꎬＣ∩(Ａ∪Ｂ) ＝ {ｘ ｜ － ４≤ｘ < ５}ꎻ 当 － ３≤ａ < ３ 时ꎬＣ∩(Ａ∪Ｂ) ＝ {ｘ ｜３ａ ＋ １ ２ < ｘ < ５}ꎻ 当 ａ≥３ 时ꎬＣ∩(Ａ∪Ｂ) ＝ ⌀. 　 　 典例 ９:∵ 􀱑 ｐ 是􀱑 ｑ 的充分不必要条件ꎬ ∴ ｑ 是 ｐ