专题1.15 导数-存在性问题-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.15 导数-存在性问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．存在性问题的解法 （1）若在区间D上有最值，则 能成立：；． （2）若能分离常数，即将问题转化为（或），则 能成立：；； 1．已知函数，． （1）求的单调区间； （2）若，存在非零实数，，满足，证明：． 【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷） 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用导数的基本运算可得，讨论、或，利用导数与函数单调性之间的关系即可得出结果．（2）根据题意可得，分别为的零点，由（1）知在上单调递增，在上单调递减，不妨设，利用零点存在性定理可得，，即证 【解析】（1）由题意得， 令，当时，， 即当时，； 当时，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，令，则，，， 故的单调递减区间为， 单调递增区间为，； 当时，令，则，，， 满足，故在上单调递增； 当时，令， 则，，， 故的单调递减区间为，单调递增区间为，． 综上，当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为， 单调递增区间为，； 当时，的单调递增区间为； 当时，的单调递减区间为， 单调递增区间为，． （2）证明：当时，， 依题意得，分别为的零点， 由（1）知在上单调递增，在上单调递减． 设，由， ，由零点存在性定理得， ，由零点存在性定理得， 利用不等式的性质得，则， 同理当时也成立．综上，． 【名师点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式、零点存在性定理，解题的关键是讨论的取值，利用零点存在性定理得出，，考查了分类讨论的思想． 2．已知函数， （1）若，的极大值是，求a的值； （2）若，在上存在唯一零点，求b的值． 【试题来源】安徽省六安市示范高中2020-2021学年高三上学期教学质量检测 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）先求得函数的定义域，求得函数的导函数，根据定义域，分析导函数的零点情况，对实数进行分类讨论，根据函数的极值的条件，求得的值；（2）利用导数研究函数的单调性，结合唯一零点的条件得到等式，化简即可求得的值． 【解析】（1）若，则 的定义域为，． 若，，在定义域内单调递增，无极大值； 若，，单调递增；，单调递减． 时，取得极大值，． （2）若，则， 令，得，当时，有唯一解，即， 当时，；当时，． 所以在单调递减，在单调递增． 因为有且只有1个零点，所以．即． 因为，，整理可得故． 【名师点睛】本题考查利用导数研究函数的极值问题和零点问题，属基础题，难度一般，关键点在于（1）中的分类讨论，（2）中的的根的设而不求的思想． 3．已知函数，a，bR． （1）若a>0，b>0，且1是函数的极值点，求的最小值； （2）若b=a+1，且存在[，1]，使成立，求实数a的取值范围． 【试题来源】江苏省常州市2021届高三下学期学业水平监测期初联考 【答案】（1）最小值；（2）． 【分析】（1）由1是函数的极值点得，对用基本不等式中“1的代换”求最值；（2）把“存在[，1]，使成立”转化为函数在上的最小值小于0，利用导数讨论单调性，找到最小值，解出a的范围即可． 【解析】（1）因为是函数的极值点，所以 即此时 当当所以函数在处取极小值． 所以因为， 所以(当且仅当时等号成立) 此时有最小值． （2）当时，， 存在使成立，即函数在上的最小值小于 ①当即时，在上单调递减， 所以在上的最小值为， 所以，不符，舍去； ②当即时，在上单调递增， 所以在上的最小值为 所以，又所以； （3）当时，即时， 在上单调递增，在上单调递减， 所以在上的最小值为 因为所以所以 所以， 所以不符，舍去， 综上可得，的取值范围是． 【名师点睛】（1）导数为零，并且两侧导数一正一负的点为极值点；导数为零，但是两侧导数符号相同的点不是极值点． （2）研究含参数的函数的单调性要注意：①讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行，切记不要忽略定义域的限制；②利用导数求函数单调性，大多数情况下归结为对含参数的不等式的解集的讨论；③在能够通过因式分解求出不等式对应方程解时，依据根的大小进行分类讨论；④在不能通过因式分解求出不等式对应方程解时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨 4．已知函数，． （1）若，是的两个根，证明：； （2）若存在，使，求的取值范围． 【试题来源】浙江省宁波市宁海中学创新班2021届高三下学期2月测试 【答案】（1）证明见解析；（2）