专题1.14 导数-恒成立问题-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.14 导数-恒成立问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．恒成立问题的解法 （1）若在区间D上有最值，则 恒成立：；； （2）若能分离常数，即将问题转化为（或），则 恒成立：；； 1．已知函数． （1）证明：当时，函数有唯一的极大值； （2）当恒成立，求实数的取值范围． 【试题来源】百师联盟2020-2021学年高三下学期开年摸底联考考试卷（全国Ⅰ卷） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）对函数求导，讨论函数的单调区间，进而可证明结果． （2）构造函数，只需函数最大值小于0即可得出结果． 【解析】（1）证明：， 因为，所以， 当时，， 令， 在区间上单调递减；， 存在，使得， 所以函数递增区间是，递减区间是． 所以函数存在唯一的极大值． （2）由， 即令， 在区间上单调减函数， ，只要即可，即． 2．已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）若恒成立，求正实数的取值范围、 【试题来源】吉林省长春市2021届高三质量监测（二） 【答案】（1）当时，在定义域上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增；（2）． 【分析】（1）求出导函数，讨论或，利用函数的单调性与导数之间的关系即可求解．（2）令，结合（1）不等式等价于，只需，令，根据函数为增函数即可求解． 【解析】定义域为， 当时，在上所以在定义域上单调递增； 当时，令有令有 所以在上单调递减，在上单调递增． 令，由及为正数知，在处取最小值， 所以恒成立等价于，即， 整理得，令， 易知为增函数，且 所以的的取值范围是. 3．已知函数． （1）讨论函数在区间上的最小值； （2）当时，求证：对任意，恒有成立． 【试题来源】河北省张家口市2021届高三一模 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【解析】（1）函数的定义域是， ． 当时，，则， 则函数在上单调递减，即函数在区间上单调递减， 故函数在区间上的最小值为． 当时，令，得；令，得； 故函数在上单调递减，在上单调递增． 当，即时，函数在区间上单调递增， 故函数在区间上的最小值为； 当，即时，函数在区间上单调递减， 故函数在区间上的最小值为； 当，即时，函数在上单调递减，在上单调递增， 此时函数在区间上的最小值为． 综上，当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为；当时，函数在区间上的最小值为． （2）当时，， 要证，即证， 因为，所以两边同时乘x，得， 即证． 当时，，而， 所以成立，即成立． 当时，令， 则． 设，，则因为． 因为，所以， 所以当时，单调递增，所以，即， 所以在上单调递增，所以，即成立． 综上，对任意，恒有成立． 【名师点睛】此题考查导数的应用，利用导数求函数的最值，考查分类讨论的数学思想，第2问解题的关键是把等价转化为，然后构造函数，利用导数证明即可，属于中档题 4．已知函数f(x)＝ax－ln x－1． （1）若f(x)≥0恒成立，求a的最小值； （2）求证：＋x＋ln x－1≥0； （3）已知k(＋x2)≥x－xln x恒成立，求k的取值范围． 【试题来源】2021年高考二轮复习讲练测（浙江专用） 【答案】（1）1；（2）证明见解析；（3）[1，＋∞)． 【解析】（1）f(x)≥0等价于a≥． 令g(x)＝ (x＞0)，则g′(x)＝， 所以当x∈(0，1)时，g′(x)＞0，当x∈(1，＋∞)时，g′(x)＜0， 则g(x)在(0，1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减，所以g(x)max＝g（1）＝1，则a≥1， 所以a的最小值为1． （2）证明：当a＝1时，由（1）得x≥ln x＋1，即t≥ln t＋1(t＞0)． 令＝t，则－x－ln x＝ln t，所以≥－x－ln x＋1，即＋x＋ln x－1≥0． （3）因为k(＋x2)≥x－xln x恒成立，即k≥1－ln x恒成立， 所以k≥＝－＋1，由（2）知＋x＋ln x－1≥0恒成立， 所以－＋1≤1，所以k≥1．故k的取值范围为[1，＋∞)． 【名师点睛】不等式证明问题是近年高考命题的热点，利用导数证明不等主要方法有两个，一是比较简单的不等式证明，不等式两边作差构造函数，利用导数研究函数的单调性，求出函数的最值即可；二是较为综合的不等式证明，要观察不等式特点，结合已解答的问题把要证的不等式变形，并运用已证结论先行放缩，然后再化简或者进一步利用导数证明． 5．已知函数，． （1）求函数的单调区间． （2）若，对都