专题1.13 导数-零点问题-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.13 导数-零点问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．利用导数解决函数的零点问题时，一般先由零点的存在性定理说明在所求区间内至少有一个零点，再利用导数判断在所给区间内的单调性，由此求解． 3．利用导数解决函数零点问题的方法： （1）先求出函数的单调区间和极值，根据函数的性质画出图象，然后将问题转化为函数图象与轴交点问题，突出导数的工具作用，体现了转化与化归思想、数形结合的思想和分类讨论的思想； （2）构造新函数，将问题转化为研究两函数的图象的交点问题； （3）分离参变量，即由分离参变量，得，研究直线与的图象的交点问题． 1．设函数，． （1）求的单调区间和极值； （2）证明：若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 【试题来源】北京市铁路第二中学2021届高三上学期期中考试 【答案】（1）的单调递减区间是，单调递增区间是；极小值；（2）证明见解析． 【分析】（1）求函数导数，分析函数的单调性即可得极值； （2）由（1）知，在区间上的最小值为，由得，讨论和时端点的函数值即可得证． 【解析】（1）由得． 由解得．与在区间上的情况如下： ↘ 极小值 ↗ 所以，的单调递减区间是，单调递增区间是； 在处取得极小值，无极大值． （2）由（1）知，在区间上的最小值为． 因为存在零点，所以，从而． 当时，在区间上单调递减，且， 所以是在区间上的唯一零点． 当时，在区间上单调递减，且， ， 所以在区间上仅有一个零点． 综上可知，若存在零点，则在区间上仅有一个零点． 2．已知函数，，． （1）若，证明：当时，； （2）讨论在上零点的个数． 【试题来源】江苏省连云港市2021届高三下学期期初调研考试 【答案】（1）证明见解析；（2）当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点． 【分析】（1）作差，令，利用导数证明当，有即可；（2）对于，求出，对a讨论，利用零点存在定理讨论零点个数． 【解析】（1）令，所以 当时，，，所以． 所以在上单调递增．当，有， 所以在上恒成立． （2）．所以， 设，， ①当时，因为，所以，而， 所以，即恒成立，所以零点个数为1个． ②当时，，所以在上递增，而，所以，所以在上递增， 因为，所以是唯一零点，此时零点个数为1个． ③当时，，所以在上递增，而，，所以存在，有， 所以当时，单调递减，当时，单调递增， 所以当时，取得最小值，而，， 因为图象是连续不间断的，由零点存在性定理知， 在上有唯一零点，因为也是零点，所以在上有2个零点． 综上：当时，在上有1个零点；当时，在上有2个零点． 【名师点睛】（1）利用导数证明不等式的解题技巧是构造辅助函数，把不等式的证明转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，解题关键是如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数； （2）研究函数零点(方程有根) 的常用方法： ①直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； ②分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决； ③数形结合法：研究单调性，利用零点存在定理判断． 3．已知函数，其中，为自然对数的底数． （1）若在上恒成立，求实数的取值范围； （2）当，时， ①证明：函数恰有一个零点； ②设为的极值点，为的零点，证明：． 参考数据： 【试题来源】黑龙江省牡丹江市第一高级中学2020-2021学年高三上学期开学考试（理） 【答案】（1）；（2）①证明见解析；②证明见解析． 【解析】（1）若在恒成立，即在恒成立， 令，则． 当时，；当时，． 即在上单调递减；在上单调递增． 故，即，所以． （2）当时，，， ①（1）当时，，即在上没有零点． （2）当时，令，则， 所以在上单调递增，，， 所以在上存在唯一实根，故在上单调递减，在上单调递增．因为，，， 所以在上有且只有一个零点． 综上，函数在上恰有一个零点； ②因为为的极值点，所以，即． 因为的导函数为在上恒成立，所以在上单调递减，因此恒成立， 即对任意成立，所以，， 所以有，即有成立． 令，，，所以在上单调递增，，，在上有且仅有一个零点，设为．而，所以，故． 由①，所以，故． 【名师点睛】本题考查导数的应用、零点、不等式、极值等综合应用能力，考查转化与化归、推理论证与运算求解能力，难度较大． 4．已知． （1）当时，求的极值； （2）若有2个不同零点，求的取值范围． 【