专题1.12 导数-极值、最值问题-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.12 导数-极值、最值问题 1．高考对本部分的考查一般有三个层次： （1）主要考查求导公式，求导法则与导数的几何意义； （2）导数的简单应用，包括求函数的单调区间、极值、最值等； （3）综合考查，如零点、证明不等式、恒成立问题、求参数等，包括解决应用问题，将导数内容和传统内容中有关不等式、数列及函数单调性有机结合，设计综合题． 2．函数极值问题的常见类型及解题策略 （1）函数极值的判断：先确定导数为0的点，再判断导数为0的点的左、右两侧的导数符号． （2）求函数极值的方法： ①确定函数的定义域． ②求导函数． ③求方程的根． ④检查在方程的根的左、右两侧的符号，确定极值点．如果左正右负，那么在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么在这个根处取得极小值；如果在这个根的左、右两侧符号不变，则在这个根处没有极值． （3）利用极值求参数的取值范围：确定函数的定义域，求导数，求方程的根的情况，得关于参数的方程(或不等式)，进而确定参数的取值或范围． 3．求函数f(x)在[a,b]上最值的方法 （1）若函数f(x)在[a,b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． （2）若函数f(x)在区间(a,b)内有极值，先求出函数f(x)在区间(a,b)上的极值，与f(a)、f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． （3）函数f(x)在区间(a,b)上有唯一一个极值点时，这个极值点就是最大(或最小)值点． 注意：（1）若函数中含有参数时，要注意分类讨论思想的应用． （2）极值是函数的“局部概念”，最值是函数的“整体概念”，函数的极值不一定是最值，函数的最值也不一定是极值．要注意利用函数的单调性及函数图象直观研究确定． 1．已知函数的图象经过点． （1）设，讨论在上的单调性； （2）若在上的最大值为，求的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练 【答案】（1）分类讨论，答案见解析；（2）． 【分析】（1）求出函数解析式，求导数，对t分类讨论即可求解； （2）根据（1）只需满足即可求解． 【解析】（1）因为， 所以，，， 当或时，，当时，， 所以：①当时，在和上递增，在上递减； ②当时，在上递减，在上递增； ③当时，在上递增； （2）因为在上的最大值为， 所以由（1）可得，解得， 故的取值范围为． 2．已知函数，其中是自然对数的底数． （1）设存在，使得成立，求正实数的取值集合A； （2）若，比较与的大小，并证明你的结论． 【试题来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（六） 【答案】（1）；（2）答案见解析． 【分析】（1）令函数，求出函数的导函数，即可得到函数的单调性及最小值，当且仅当最小值，即可得到参数的取值范围；（2）构造函数，利用函数的单调性，最值与单调性之间的关系，分别进行讨论即可得到结论． 【解析】（1）令函数， 则．当时，， 又故,所以是上的单调增函数， 因此在的最小值是 由于存在使成立, 当且仅当最小值 故即则 （2）令函数则． 令得， 当时故是上的单调减函数． 当时故是上的单调增函数 所以在上的最小值是．注意到， 所以当时 当时, 所以对任意的成立． ①当时即从而 ②当时； ③当时即，故. 综上所述，当时当时；当时，． 【名师点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理． 3．已知函数． （1）当时，讨论函数的单调性； （2）设函数，当时，若函数的极大值点为，证明：． 【试题来源】2021届高三数学二轮复习 【答案】（1）答案见解析；（2）证明见解析． 【分析】（1）先求出，再对分类讨论得到函数的单调性； （2）通过分析得到，所以，，令，，再利用导数证明即得证． 【解析】（1）的定义域为， ， ①当时，， 当时，，函数单调递减， 当时，，函数单调递增， ②当时，由，解得，， 此时， 当，，时，，函数单调递减， 当，，，函数单调递增， 综上所述，当时，在上单调递减，在，上单调递增， 当时，在，，时，单调递减，在，，单调递增． （2）， ，当时，即或时， 令，则的两个根为，， 函数的极大值点为，， 又，，，， 由，可得，则， ，， 令，，， ，， 当时，，当时，， 在上单调递增，在，上单调递减， ，在上单调递减， （1），故． 【名师点睛】在解决有关导数应用的试题时，有些题目利用“一次求导”就可以解决，但是有些问题“一次求导”，不能求出原函数（一般导函数是超越函数）的单调性，还不能解决问题，需要利用“二次求导”才能找到导数的正负，找到原函数的单调性，才能解决问题． “再构造，再求导”是破解函