专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题 （1）定点、定值问题多以直线与圆锥曲线为背景，常与函数与方程、向量等知识交汇，形成了过定点、定值等问题的证明.解决此类问题的关键是引进参变量表示所求问题，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.可以先研究一下特殊情况，找出定点或定值，再视具体情况进行研究.同时，也要掌握巧妙利用特殊值解决相关的定点、定值问题，如将过焦点的弦特殊化，变成垂直于对称轴的弦来研究等. （2）定点问题解决步骤： ①设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程； ②根与系数关系列出两根和及两根积； ③写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积； ④整理③所得表达式探求其恒成立的条件． （3）探索圆锥曲线的定值问题常见方法有两种： ①从特殊入手，先根据特殊位置和数值求出定值，再证明这个值与变量无关； ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． （4）存在型定值问题的求解，解答的一般思路如下： ①确定一个(或两个)变量为核心变量，其余量均利用条件用核心变量进行表示； ②将所求表达式用核心变量进行表示(有的甚至就是核心变量)，然后进行化简，看能否得到一个常数． （5）求定线问题常见的方法有两种： ①从特殊入手，求出定直线，再证明这条线与变量无关． ②直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定直线． 1．设椭圆，O为原点，点是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为，N关于原点O的对称点为，若点三点共线，求证：直线l经过定点． 【试题来源】山西省晋中市2021届高三下学期二模 【答案】（1）；（2）证明见解析． 【分析】（1）由条件可知，再根据离心率求，最后代入，求椭圆方程；（2）直线与椭圆方程联立，得到根与系数的关系，由三点共线可知，坐标表示斜率后，代入根与系数的关系化简，求直线所过的定点． 【解析】（1）由题意得，，所以． 所以椭圆C的方程为． （2）证明：设，则， 直线，与椭圆方程联立 得，则， ． 因为点三点共线，所以，即， 所以， 即， 整理得．① 由，代入① 整理得， 所以直线l的方程为，即直线l恒过定点． 2．已知椭圆具有如下性质：若椭圆的方程为，则椭圆在其上一点处的切线方程为，试运用该性质解决以下问题：在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的右焦点，直线与椭圆相切于点(点在第一象限)，过原点作直线的平行线与直线相交于点，问：线段的长是否为定值？若是，求出定值；若不是，说明理由． 【试题来源】广东省中山市2021届高三上学期期末 【答案】（1）；（2）是定值，定值为． 【分析】（1）根据椭圆离心率为，以及椭圆经过点，结合椭圆的性质列方程求解即可；（2）设，题意可知，切线的方程为，过原点且与平行的直线的方程为，求出的坐标，表示出的长，再化简即可得结论． 【解析】（1）由题意知，所以椭圆的方程为． （2）设，题意可知，切线的方程为， 过原点且与平行的直线的方程为，椭圆的右焦点， 所以直线的方程为，联立， 所以， 所以 为定值． 3．已知椭圆：的离心率为，且过点． （1）求椭圆的方程； （2）若直线(且)交椭圆于，两点，记直线，的斜率分别为，，探究：是否为定值，若是，求出该值；若不是，请说明理由． 【试题来源】1号卷A10联盟2021届高三开年考 【答案】（1）；（2）是定值，定值为． 【解析】（1）由题意得， 解得，所以椭圆的方程为． （2）联立，解得， 其中，解得． 又且，所以或或． 设，，则，， 所以 ， 即是定值，且定值是． 4．已知椭圆的焦距为，且经过点． （1）求椭圆的方程； （2）设椭圆上存在两点，，使得的斜率与的斜率之和为，直线是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，说明理由． 【试题来源】甘肃省2020-2021学年高三第一次高考诊断试卷 【答案】（1）；（2）直线过定点． 【分析】（1）利用，代入点的坐标可得，再利用可得，则椭圆方程可得；（2）当直线的斜率存在时，设方程为，与椭圆联立，利用的斜率与的斜率之和为以及根与系数关系，可得的关系，代入直线方程可得定点；当直线的斜率不存在时，可得坐标，发现矛盾，舍去． 【解析】（1）由题意知，焦点为，故，，故，， 所以椭圆的方程为； （2）当直线的斜率存在时，设方程为． 代入椭圆方程消去并整理，得（*）， 设点，，则，．① 设直线的斜率与的斜率分别为，，根据，， 则， 所以， 将①代入，整理化简得， 即， 因为不在直线上，所以，所以， 要使（*）方程判别式， 即，得， 于是的方程为，所以直线过定点． 当直线的斜率不存在时，可得，， 则由，又 联立