专题1.10 圆锥曲线-抛物线-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.10 圆锥曲线-抛物线 （1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. （2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． ③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系. （3）圆锥曲线中的最值问题解决方法一般分两种： 一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来求最值； 二是代数法，常将圆锥曲线的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值． （4）解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题时用“点差法”解决，往往会更简单． 1．已知抛物线的准线为，过抛物线上一点向轴作垂线，垂足恰好为抛物线的焦点，且． （1）求抛物线的方程； （2）设与轴的交点为，过轴上的一个定点的直线与抛物线交于两点．记直线的斜率分别为，若，求直线的方程． 【试题来源】东北三省四市教研联合体2021届高考模拟考试 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）可得，代入方程求解即可；（2）设直线的方程为，和抛物线的方程联立消元可得，，然后利用，求解即可． 【解析】（1）由题意，代入，得， ，抛物线的方程为． （2）当直线的斜率不存在时，与题意不符， 所以直线的斜率一定存在，设直线的方程为代入到中， ， 设，，则， ，，所以直线的方程为． 2．已知抛物线的焦点为点在抛物线上，点的横坐标为且． （1）求抛物线的标准方程； （2）若为抛物线上的两个动点(异于点)，且，求点的横坐标的取值范围． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）；（2）． 【分析】由抛物线的定义可得，再代入可求得，可得抛物线的标准方程为．由直线垂直的条件建立关于点A、B的坐标的方程，由根的判别式可求得范围． 【解析】依题意得设， 又点是上一点，所以，得，即， 所以抛物线的标准方程为． 由题意知， 设 则，因为，所以， 所在直线方程为，联立． 因为，得，即， 因为，即，故或 经检验，当时，不满足题意． 所以点B的横坐标的取值范围是． 【名师点睛】解决本题的相关问题的关键在于，将目标条件转化到点的坐标的关系，由方程的根的判别式求得范围． 3．如图，已知点F为抛物线E：y2=2px(p>0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且|AF|=3． （1）求抛物线E的方程； （2）已知点G(-1，0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：GF为∠AGB的平分线． 【试题来源】2021年高考数学【热点重点难点】专练 【答案】（1）y2=4x；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用抛物线定义，由|AF|=2+=3求解．（2）根据点A(2，m)在抛物线E上，解得m，不妨设A(2，2)，直线AF的方程为y=2 (x-1)，联立，然后论证kGA+kGB=0即可 【解析】（1）由抛物线定义可得|AF|=2+=3，解得p=2． 所以抛物线E的方程为y2=4x． （2）因为点A(2，m)在抛物线E上，所以m2=4×2，解得m=±2 ， 由抛物线的对称性，不妨设A(2，2)，由A(2，2，F(1，0)， 所以直线AF的方程为y=2 (x-1)， 由 得2x2-5x+2=0，解得x=2或，所以B． 又G(-1，0)，所以kGA=，kGB=，所以kGA+kGB=0， 所以∠AGF=∠BGF．所以GF为∠AGB的平分线． 【名师点睛】由GF为∠AGB的平分线，即∠AGF=∠BGF，转化为 kGA+kGB=0结合根与系数关系证明． 4．已知椭圆的离心率为，一个焦点坐标为，曲线上任一点到点和到直线的距离相等． （1）求椭圆和曲线的标准方程； （2）点为和的一个交点，过作直线交于点，交于点，且互不重合，若，求直线与轴的交点坐标． 【试题来源】河南省焦作市2020-2021学年高三上学期第二次模拟考试 【答案】（1）；；（2）． 【分析】（1）根据离心率和焦点求出可得椭圆方程，可判断曲线为抛物线，即可得出方程；（2）联立椭圆与抛物线求出点P坐标，可得直线l斜率存在，设，联立直线与抛物线可得，联立直线与椭圆可得，由可得，即可解出，得