专题1.9 圆锥曲线-双曲线-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.9 圆锥曲线-双曲线 （1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. （2）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． ③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系. （3）解决中点弦问题的两种方法： ①根与系数的关系法：联立直线与曲线方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系数的关系以及中点坐标公式解决； ②点差法：设出交点坐标，利用交点在曲线上，坐标满足方程，将交点坐标代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系． 1．在①，且C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为，②C的焦距为6，③C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4．这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中．问题：已知双曲线，_______，求C的方程． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【试题来源】备战2021年高考数学一轮复习考点一遍过 【答案】答案不唯一，见解析 【分析】根据双曲线的性质，从①②③三个条件中选一个，求出双曲线的方程即可． 【解析】若选①，因为，所以，所以． 因为C的左支上任意一点到右焦点的距离的最小值为， 所以， 解得，故C的方程为． 若选②，则． 若，则，所以， 解得，则C的方程为； 若，则，所以， 解得，则C的方程为． 选③，因为C上一点到两焦点距离之差的绝对值为4，所以，即． 若，则， 所以，解得，则C的方程为； 若，则，所以，解得，则C的方程为． 2．双曲线C的一条渐近线方程是x－2y＝0，且双曲线C过点(，1)． （1）求双曲线C的方程； （2）设双曲线C的左、右顶点分别是A1，A2，P为C上任意一点，直线PA1，PA2分别与直线l：x＝1交于M，N，求|MN|的最小值． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）设出双曲线方程x2－4y2＝k(k≠0)，将点代入即可求解． （2）设直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k2＞0)，由（1）可得k1k2＝，写出直线PA1的方程与PA2的方程，求出点M，N，表示出|MN|，利用基本不等式即可求解． 【解析】由渐近线方程可设双曲线C的方程为x2－4y2＝k(k≠0)， 把(2，1)代入可得k＝4，所以双曲线C的方程为－y2＝1． （2）由题易知，P在右支上时|MN|取最小值． 由（1）可得A1(－2，0)，A2(2，0)，设P(x，y)，根据双曲线方程可得·＝， 直线PA1，PA2的斜率分别为k1，k2(k1，k2＞0)，则k1k2＝， PA1的方程为y＝k1(x＋2)，令x＝1，得M(1，3k1)， PA2的方程为y＝k2(x－2)，令x＝1，得N(1，－k2)， 所以|MN|＝|3k1－(－k2)|＝3k1＋k2≥2＝， 当且仅当3k1＝k2，即k1＝，k2＝时，等号成立． 故|MN|的最小值为． 【名师点睛】本题考查了直线与双曲线的位置关系，解题的关键是求出k1k2＝，再表示出|MN|，考查了运算能力． 3．已知双曲线经过点且实轴长是半焦距的． （1）求双曲线C的标准方程； （2）若直线l与双曲线C交于P，Q两点，且线段PQ的中点为，求直线l的方程． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地区专用） 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）根据题意可得，再根据双曲线过点，再结合，代入即可求得，，即可得到双曲线C的标准方程；（2）先设出P，Q的坐标，根据中点坐标公式即可求得，，将P，Q两点代入双曲线方程，两式相减即可得到斜率为，再利用点斜式即可求出直线l的方程． 【解析】（1）因为实轴长是半焦距的倍，所以，即， 因为双曲线C经过点，， 因为，所以，， 故双曲线C的标准方程为； （2）设P，Q的坐标分别为，， 因为线段PQ的中点为，所以，， 因为，，所以， 整理得，即直线l的斜率为， 所以直线l的方程为，即． 4．设中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点，且，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为． （1）求这两曲线方程； （2）若P为这两曲线的一个交点，求的值． 【试题来源】2021年高考数学二轮复习热点题型精选精练（新高考地