专题1.8 圆锥曲线-椭圆-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.8 圆锥曲线-椭圆 （1）解析几何的解答题一般难度较大，多为试卷的压轴题之一，常考查直线与圆锥曲线的位置关系及最值范围、定点、定值、存在性问题及证明问题，多涉及最值求法，综合性强.多考查直线与圆或抛物线的位置关系，但也要注意对椭圆、双曲线知识的考查，解题时，充分利用数形结合思想，转化与化归思想．同时注重数学思想在解题中的指导作用，以及注重对运算能力的培养. （2）求椭圆的标准方程，关键是基本量的确定，方法有待定系数方法或定义法； （3）与焦点三角形有关的计算问题，足以利用椭圆的定义、焦半径公式等来简化计算． （4）直线与圆锥曲线的弦长问题有三种解法： ①过圆锥曲线的焦点的弦长问题，利用圆锥曲线的定义可优化解题． ②将直线的方程与圆锥曲线的方程联立，求出两交点的坐标，再运用两点间距离公式求弦长． ③它体现了解析几何中的设而不求的思想，其实质是利用两点之间的距离公式以及一元二次方程根与系数的关系. （5）解决圆锥曲线中的范围或最值问题时，若题目的条件和结论能体现出明确的函数关系，则可先建立目标函数，再求这个函数的最值．在利用代数法解决最值与范围问题时常从以下几个方面考虑： ①利用判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； ②利用已知参数的范围，求出新参数的范围，解题的关键是建立两个参数之间的等量关系； ③利用基本不等式求出参数的取值范围； ④利用函数值域的求法，确定参数的取值范围． 1．如图，已知椭圆，离心率为，为椭圆的左、右焦点，为椭圆上一动点，为的内心，连接，延长交轴于点． （1）求椭圆的方程； （2）设，的面积分别为，，求的取值范围． 【试题来源】浙江省百校2021届高三下学期3月模拟联考 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）因为离心率为，故， 因为为椭圆的左右焦点， 故，所以椭圆； （2）因为为的内心，故为各内角角平分线交点， 故根据角平分线定理可知，，， ， 设以为底边的高分别为， ， ， 设， ， ， 为椭圆上一动点，且构成三角形，故， ． 2．已知椭圆过点，且与曲线有共同的焦点． （1）求椭圆的标准方程； （2）过椭圆的右焦点作直线与椭圆交于两点，设，若，点，求的取值范围． 【试题来源】湖南师范大学附属中学2021届高三下学期月考（六） 【答案】（1）；（2）． 【解析】（1）设椭圆的焦距为，由题意得， 设椭圆的标准方程为，则， 又，解得或舍去， 所认故椭圆的标准方程为 （2）由题意设直线的方程为 将直线的方程代入中，得 设可得，① ，② 将上面两式①式平方除以②式，得 因为所以且 则 由 所以，因为 所以， 又，所以， 故 ， 令，因为，所以，即， 所以． 而所以所以 【名师点睛】本题考查了待定系数法求椭圆方程、直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设直线的方程为，利用根与系数关系得出，求出的取值范围，考查了运算求解能力． 3．已知椭圆的左焦点为，点在椭圆E上． （1）求椭圆E的方程； （2）如图，O为坐标原点，点A为椭圆E上一动点非长轴端点，直线､AO分别与椭圆E交于点B､C，求面积的最大值． 【试题来源】江苏省南京市第一中学2020-2021学年高三上学期1月阶段性检测 【答案】（1）；（2）面积的最大值为． 【分析】（1）由题意可得，将点代入椭圆方程，结合即可求解． （2）设直线：，将直线与椭圆联立，利用根与系数关系以及弦长公式求出，利用点到直线的距离公式求出点到直线的距离为，利用基本不等式即可求解． 【解析】（1）因为椭圆经过点，，且左焦点为， 则，解得，所以椭圆E的方程为． （2）由题意可设直线：，，整理可得， 设，则，， ， 设到直线的距离为，则，由对称性可知， 则 ， 当且仅当，即时取等号， 所以面积的最大值为． 【名师点睛】本题考查了直线与椭圆的位置关系，解题的关键是求出弦长以及根据对称性得出，考查了分析能力、运算求解能力． 4．在平面直角坐标系中，已知椭圆：的离心率为，且过点，其左顶点为，上顶点为．直线：与，轴分别交于点，，直线，分别与椭圆交于点，．（异于点，异于点） （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程． 【试题来源】辽宁省名校联盟2020-2021学年高三3月份联合考试 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）由离心率及所过点的坐标结合列关于方程组解之可得； （2）求出直线知，设，直线方程为，直线方程，直线方程与椭圆方程联立后求得点横坐标，由直线上弦长公式求得，同理得，然后由求得，即得值，从而得到直线的方程． 【解析】（1）由题意可知，，因为椭圆过点，所以， 因为，解得，，所以椭圆的方程为； （2）由（1）可知，，，且，， 则，，所以， 设的斜率为，则：，：， 将直线与椭圆的方程联立，， 消去，整理得， 因为，且，所以，则， 将直线与椭圆的方程联立，