专题1.6 概率与统计-随机变量及其分布-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.6 概率与统计-随机变量及其分布 （1）频率分布直方图、茎叶图、平均数、方差，离散型随机变量的分布列与期望仍然是考查的热点，同时应注意和概率、平均数、分布列，期望，二项分布，正态分布等知识的结合，同时应注意独立性检验在实际生活中的应用。 （2）求离散型随机变量X的分布列的步骤 ①理解X的意义，写出X可能取的全部值； ②求X取每个值的概率； ③写出X的分布列． 注意：①与排列、组合有关分布列的求法．可由排列、组合、概率知识求出概率，再求出分布列． ②与频率分布直方图有关分布列的求法．可由频率估计概率，再求出分布列． ③与互斥事件有关分布列的求法．弄清互斥事件的关系，利用概率公式求出概率，再列出分布列． ④与独立事件有关分布列的求法．先弄清独立事件的关系，求出各个概率，再列出分布列． ⑤求解离散型随机变量X的均值与方差时，只要在求解分布列的前提下，根据均值、方差的定义求，即可． 1．支付宝为人们的生活带来许多便利，为了了解支付宝在某市的使用情况，某公司随机抽取了100名支付宝用户进行调查，得到如下数据： 每周使用支付宝次数 1 2 3 4 5 6及以上 40岁及以下人数 3 3 4 8 7 30 40岁以上人数 4 5 6 6 4 20 合计 7 8 10 14 11 50 （1）如果认为每周使用支付宝超过3次的用户“喜欢使用支付宝”，完成下面列联表，并判断能否在犯错误概率不超过0.05的前提下，认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关？ 不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计 40岁及以下人数 40岁以上人数 合计 （2）每周使用支付宝6次及以上的用户称为“支付宝达人”，视频率为概率，在该市所有“支付宝达人”中，随机抽取3名用户． ①求抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率； ②为了鼓励40岁以上用户使用支付宝，对抽出的40岁以上“支付宝达人”每人奖励500元，记奖励总金额为X(单位：元)，求X的数学期望． 附：，其中． 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【试题来源】云南省云南师范大学附属中学2021届高三第七次月考 【答案】（1）列联表答案见解析，在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关；（2）①；②． 【分析】（1）根据题干列联表，计算，对照参照值得出结论； （2）视频率为概率，可得答案；记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为，满足二项分布，得出期望，又，可得奖励总金额的期望． 【解析】（1）由题中表格数据可得列联表如下： 不喜欢使用支付宝 喜欢使用支付宝 合计 40岁及以下人数 10 45 55 40岁以上人数 15 30 45 合计 25 75 100 将列表中的数据代入公式计算得 的观测值， 所以在犯错误率不超过0.05的前提下，不能认为是否“喜欢使用支付宝”与年龄有关． （2）视频率为概率，在该市“支付宝达人”中，随机抽取1名用户，该用户为40岁及以下的“支付宝达人”的概率为，为40岁以上的“支付宝达人”的概率为． ①抽取的3名用户中，既有40岁及以下“支付宝达人”又有40岁以上“支付宝达人”的概率为． ②记抽出的40岁以上“支付宝达人”的人数为，则． 由题意得，所以， 所以的数学期望． 2．如图是市旅游局宣传栏中的一幅标题为“2012~2019年我市接待游客人次”的统计图．根据该统计图提供的信息解决下列问题． （1）求市在所统计的这8年中接待游客人次的平均值和中位数； （2）在所统计的8年中任取两年，记其中接待游客人次不低于平均数的年份数为，求的分布列和数学期望； （3）由统计图可看出，从2016年开始，市接待游客的人次呈直线上升趋势，请你用线性回归分析的方法预测2021年市接待游客的人次． ①参考公式：对于一组数据，，…，，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计分别为，． ②参考数据： 0 1 2 3 90 330 【试题来源】河南省九师联盟2020-2021年高三下学期2月联考 【答案】（1）平均数为(万人次)，中位数为(万人次)；（2）分布列答案见解析，数学期望：；（3）1365万人次． 【分析】（1）根据统计图，分别利用平均数和中位数公式求解．（2）由不低于平均数的有3年，得到的可能取值为0，1，2，分别求得其相应概率，列出分布列求期望．（3）令，，分别求得，，进而求得，，得到关于的回归