专题17 立体几何中的最值问题-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题17 立体几何中的最值问题 【压轴综述】 在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．在涉及最值的问题中主要有三类，一是距离（长度）的最值问题；二是面（体）积的最值问题；三是在最值已知的条件下，确定参数（其它几何量）的值.从解答思路看，有几何法（利用几何特征）和代数法(应用函数思想、应用基本不等式等)两种，都需要我们正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住，有关计算公式熟练掌握. 一、涉及几何体切接问题最值计算 求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题； 二.涉及角的计算最值问题 1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果． 2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论． 3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法 (i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧. 【压轴典例】 例1.(2020·全国卷Ⅲ理科·T15)已知圆锥的底面半径为1,母线长为3,则该圆锥内半径最大的球的体积为　　　　.  【解析】方法一:易知半径最大球为圆锥的内切球,球与圆锥内切时的轴截面如图所示, 其中BC=2,AB=AC=3,且点M为BC边上的中点,设内切圆的圆心为O,由于AM==2, 故S△ABC=×2×2=2,设内切圆半径为r, 则S△ABC=S△AOB+S△BOC+S△AOC=×AB×r+×BC×r+×AC×r=××r=2,解得r=, 其体积:V=πr3=π. 方法二:分析知圆锥内半径最大的球应为圆锥的内切球,如图,由题可知圆锥的母线长为BS=3,底面半径为 BC=1,高SC==2,不妨设该内切圆与母线BS切于D点,令OD=OC=r,则由△SOD∽△SBC,可得=,即=,得r=,此时V=πr3=π. 例2．（2021·浙江高三月考）已知正方体 的棱长为1，点 ， 分别为线段 ， 上的动点，点 在平面 内，则 的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】 点关于 的对称点为 ， 关于 的对称点为 ，记 为直线 与 之间的距离，则 ，由 ， 为 到平面 的距离，因为 ， 而 ，故 ， 例3．（2020·陕西西安一中）如图，正方体 的棱长为 ，点O为底面ABCD的中心，点P在侧面 的边界及其内部运动.若 ，且 面积的最大值为 ，则a的值为（ ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】D 【详解】取 的中点 ，如图，连接 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 因为正方体 的棱长为 ，所以 EMBED Equation.DSMT4 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ，所以 ， EMBED Equation.DSMT4 ， 所以 ， ，所以 ， ， 由 ， 平面 ， 平面 ，可得 平面 ， 所以 ，所以点 的轨迹为线段 ，又 , 所以 面积的最大值 ，则 . 例4．（2021·河南高三月考）《九章算术》卷五《商功》中描述几何体“阳马”为“底面为矩形，一棱垂直于底面的四棱锥”.现有阳马 (如图)， 平面 . ， ，点 ， 分别在 ， 上，当空间四边形 的周长最小时，三棱锥 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】把平面 展开到与平面 共面的 的位置(如下图)， 延长 到 ，使得 ，则 ，因为 的长度为定值，故只需求 最小，只需 ， ， ， 四点共线，因为 ， ， ，所以 ，所以 ， ， ，由正弦定理得， 外接圆的半径 .设 外接圆的圆心为 ，则三棱锥 外接球的球心