专题16 几何体的几何特征与点线面关系-备战2021高考数学冲破压轴题讲与练

专题16 几何体的几何特征与点线面关系 【压轴综述】 在立体几何中，判定和证明空间的线线、线面以及面面之间的位置关系(主要是平行与垂直的位置关系)，计算空间图形中的几何量(主要是角与距离)是两类基本问题．正确揭示空间图形与平面图形的联系，并有效地实施空间图形与平面图形的转换是分析和解决这两类问题的关键．要善于将空间问题转化为平面问题：这一步要求我们具备较强的空间想象能力，对几何体的结构特征要牢牢抓住. 立体几何压轴题多以选择题、填空题形式出现，往往与不等式、导数、三角函数等相结合，具有一定的综合性.其中折叠问题、几何体的切接及截面问题、角的计算问题等比较多见. 一.折叠问题最重要的是找到折叠之前与折叠之后不变量，这是两个图形的桥梁，再结合新图形的新特征处理. 二.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角. 三.几何体的切接、截面问题： (1)求解与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径等.通过作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．这样才能进一步将空间问题转化为平面内的问题； (2)转化后如何算？因为已经是平面内的问题，那么方法就比较多了，如三角函数法、均值不等式、坐标法，甚至导数都是可以考虑使用的工具． 四.角的计算问题 1. 二面角的平面角及其求法有：定义法、三垂线定理及其逆定理、找公垂面法、射影公式、向量法等，依据题目选择方法求出结果． 2.求异面直线所成角的步骤:一平移,将两条异面直线平移成相交直线．二定角,根据异面直线所成角的定义找出所成角．三求角,在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函数求角．四结论． 3.线面角的计算：（1）利用几何法：原则上先利用图形“找线面角”或者遵循“一做----二证----三计算”. （2）利用向量法求线面角的方法 (i分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)； (ii)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角就是斜线和平面所成的角. 下面通过例题说明应对这类问题的方法与技巧. 【压轴典例】 例1.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T3 理科·T3)埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为 (　　) A. B. C. D. 【解析】选C.如图,设CD=a,PE=b,则PO==, 由题意PO2=ab,即b2-=ab,化简得4-2·-1=0,解得=(负值舍去). 例2.(2020·全国卷Ⅰ高考文科·T12理科·T10 )已知A,B,C为球O的球面上的三个点,☉O1为△ABC的外接圆,若☉O1的面积为4π,AB=BC=AC=OO1,则球O的表面积为 (　　) A.64π B.48π C.36π D.32π 【解析】选A.设圆O1的半径为r,球的半径为R,依题意,得πr2=4π,所以r=2,由正弦定理可得AB=2rsin 60°=2,所以OO1=AB=2,根据球截面性质得OO1⊥平面ABC, 所以OO1⊥O1A,R=OA===4,所以球O的表面积S=4πR2=64π. 例3. (2020·全国卷Ⅱ文科·T11理科·T10)已知△ABC是面积为的等边三角形,且其顶点都在球O的球面上.若球O的表面积为16π,则O到平面ABC的距离为 (　　) A. B. C.1 D. 【解析】选C.设△ABC的外接圆圆心为O1,记OO1=d,圆O1的半径为r,球O的半径为R,△ABC的边长为a,则S△ABC=a2=,可得a=3,于是r=,由题知,球O的表面积为16π,则R=2,由R2=r2+d2易得d=1,即O到平面ABC的距离为1. 例4.(2020·全国卷Ⅱ理科·T7)如图是一个多面体的三视图,这个多面体某条棱的一个端点在正视图中对应的点为M,在俯视图中对应的点为N,则该端点在侧视图中对应的点为 (　　) A.E B.F C.G D.H 【解析】选A.该几何体是两个长方体拼接而成,如图所示,由图可知选A.