专题1.7 空间向量与立体几何-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.7 空间向量与立体几何 （1）高考对本部分内容的考查以能力为主，重点考查线面关系、面面关系、线面角及二面角的求解，考查数形结合的思想，空间想象能力及运算求解能力等． 主要有两种考查形式： ①利用立体几何的知识证明线面关系、面面关系； ②考查学生利用空间向量解决立体几何的能力，考查空间向量的坐标运算，以及平面的法向量等，难度属于中等偏上，解题时应熟练掌握空间向量的坐标表示和坐标运算，把空间立体几何问题转化为空间向量问题. （2）运用空间向量坐标运算求空间角的一般步骤： ①建立恰当的空间直角坐标系； ②求出相关点的坐标； ③写出向量坐标； ④结合公式进行论证、计算； ⑤转化为几何结论． （3）求二面角最常用的方法就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角．注意：两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，有可能为两法向量夹角的补角．设平面α，β的法向量分别为μ=(a3，b3，c3)，v=(a4，b4，c4)，平面α，β的夹角为θ(0≤θ≤π)，则. （4）用向量解决探索性问题的方法： ①确定点在线段上的位置时，通常利用向量共线来求． ②确定点在平面内的位置时，充分利用平面向量基本定理表示出有关向量的坐标而不是直接设出点的坐标． ③解题时，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等，所以为使问题的解决更简单、有效，应善于运用这一方法解题． 1．已知梯形如图1所示，其中，，，四边形是边长为1的正方形，沿将四边形折起，使得平面平面，得到如图2所示的几何体． （1）求证：平面平面； （2）若点在线段上，且与平面所成角的正弦值为，求线段的长度． 【试题来源】黑龙江省哈尔滨市哈尔滨第三中学2020-2021学年高三下学期第一次模拟（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）利用折前折后的不变量先证明线面垂直，再进一步得到面面垂直． （2）建系求平面法向量，建立方程求解． 【解析】（1）因为平面平面，平面， 平面平面，，所以平面， 因为平面，所以， 因为四边形是正方形所以， 因为、平面，，所以平面， 因为平面所以平面平面； （2）建系如图： 设平面的法向量，，，， ，则，设，， ，解得或（舍）， ，所以. 2．在三棱锥中，，，． （1）求证：； （2）若为上一点，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【试题来源】浙江省绍兴市第一中学2020-2021学年高三上学期期末 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）取中点，连接，，证明平面即可； （2）首先证明平面，然后以射线，，为，，正半轴建系，然后算出和平面的法向量即可得到答案． 【解析】（1）取中点，连接，，因为，， 所以，，因为，所以平面， 即． （2）由（1）得，平面，因为平面， 所以平面平面， 易得，，所以，即， 因为平面平面，所以平面， 如图所示，以射线，，为，，正半轴建系， ，，，，， ，，， 设为平面一个法向量， 则有，取， 设为直线与平面所成角，则． 即直线与平面所成角的正弦值为． 3．在边长为2的菱形中，，点是边的中点（如图1），将沿折起到的位置，连接，得到四棱锥（如图2） （1）证明：平面平面； （2）若，连接，求直线与平面所成角的正弦值． 【试题来源】广东省广州市2021届高三一模 【答案】（1）证明见解析，（2）． 【分析】（1）连接图1中的，证明，然后证明平面即可； （2）证明平面，然后以为原点建立如图空间直角坐标系，然后利用向量求解即可． 【解析】（1）连接图1中的， 因为四边形为菱形，且 所以为等边三角形，所以 所以在图2中有，因为 所以平面，因为，所以平面平面 （2）因为平面平面，平面平面，，，所以平面， 以为原点建立如图空间直角坐标系， 所以， 所以， 设平面的法向量为，则， 令，则，所以， 所以直线与平面所成角的正弦值. 4．已知三棱锥中，，三棱锥中，，为全等的等边三角形，． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【试题来源】“超级全能生”2021届高三全国卷地区1月联考试题（丙卷）（理） 【答案】（1）证明见解析；（2）． 【分析】（1）设的中点为，连接，在上取点，使得，连接，．可得平面，平面，即可得出结果． （2）由（1）可知平面，，以点为坐标原点，，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系，即可得出结果． 【解析】（1）设的中点为，连接，在上取点，使得，连接，． 因为，， 所以，，是全等的等腰直角三角形， ，，，所以平面． 又平面，所以． 因为为等边三角形，所以． 又，所以平面， 又平面，所以． 同理，，，所以平面． 因为，，所以平