专题一 第5讲 母题突破2 恒成立问题与有解问题-2021【步步高】高考文科数学大二轮专题复习与增分策略课件（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫）通用

专题一　第5讲　导数的综合应用 母题突破2　恒成立问题与有解问题 内 容 索 引 母题突破2　 专题强化练 1 母题突破2　恒成立问题与有解问题 PART ONE 由题设知f′(1)＝0，解得b＝1. 思路分析 ❸求f(x)min 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以不符合题意. 子题1　已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝x2，a∈R. (1)求函数f(x)的极值点； 解　f(x)＝ln x－ax的定义域为(0，＋∞)， 所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，无极值点； (2)若f(x)≤g(x)恒成立，求a的取值范围. 解　由条件可得ln x－x2－ax≤0(x>0)恒成立， 令k(x)＝1－x2－ln x，x>0， 所以k(x)在(0，＋∞)上单调递减， 又k(1)＝0，所以在(0,1)上，h′(x)>0，在(1，＋∞)上，h′(x)<0， 所以h(x)在(0,1)上单调递增，在(1，＋∞)上单调递减. 所以h(x)max＝h(1)＝－1，所以a≥－1. 即a的取值范围为a≥－1. 因此a＝2. 函数g(x)的导函数g′(x)＝k(1－x)e－x. ①当k>0时， 当x<1时，g′(x)>0，g(x)在(－∞，1)上单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减， ③当k<0时， 当x<1时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0， 规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. ②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. 跟踪演练 1.(2020·全国Ⅱ改编)已知函数f(x)＝2ln x＋1.若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围. 解　设h(x)＝f(x)－2x－c， 则h(x)＝2ln x－2x＋1－c， 当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0. 所以h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减. 从而当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)＝－1－c. 故当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c. 所以c的取值范围为[－1，＋∞). 2.已知函数f(x)＝(1－x)ex－1. (1)求f(x)的极值； 解　f′(x)＝－xex， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0， ∴当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝e0－1＝0，f(x)没有极小值. 解　由(1)知f(x)≤0， 即方程m＝xln x在(0，＋∞)上有解， 记h(x)＝xln x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝ln x＋1， 2 专题强化练 PART TWO 1 2 1 2 由h′(x)>0，得x>1，所以函数h(x)在(1，＋∞)上是增函数； 由h′(x)<0，得0<x<1，所以函数h(x)在(0,1)上是减函数， 故h(x)在x＝1处取得最小值，且h(1)＝1＋m. 2.设函数f(x)＝ax2－xln x－(2a－1)x＋a－1(a∈R).若对任意的x∈[1，＋∞)，f(x)≥0恒成立，求实数a的取值范围. 1 2 解　f′(x)＝2ax－1－ln x－(2a－1)＝2a(x－1)－ln x(x>0)， 易知当x∈(0，＋∞)时，ln x≤x－1， 则f′(x)≥2a(x－1)－(x－1)＝(2a－1)(x－1). 1 2 f(x)在[1，＋∞)上单调递增，f(x)≥f(1)＝0，符合题意； 当a≤0时，由x∈[1，＋∞)得f′(x)≤0恒成立，f(x)在[1，＋∞)上单调递减， f(x)≤f(1)＝0，显然不符合题意，a≤0舍去； 1 2 母题　(2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0. (1)求b； 解　f′(x)＝＋(1－a)x－b. (2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围. ❶存在x0≥1，使得fx0< ❷fxmin< 由(1)知，f(x)＝aln x＋x2－x，  f′(x)＝＋(1－a)x－1＝(x－1). ①若a≤，则≤1，故当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)在(1，＋∞)上单调递增. 所以，存在x0≥1，使得f(x0)<的充要条件为  f(1)<，即－1<， 解得－－1<a<－1. 而f ＝aln ＋＋>， ②