2020-2021学年高一下学期数学人教B版（2019）必修第四册第九章解三角形章末总结学案

章末总结 素养一　数学运算 　　例1　在锐角△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且asin Bcos B+bcos Asin B=c. (1)若2a=3c=6,求边b的大小; (2)若sin Asin C=,且b=2,求△ABC的面积. 解析　(1)由asin Bcos B+bcos Asin B=c及正弦定理得sin Asin Bcos B+sin Bcos Asin B=sin C, 整理得sin Bsin(A+B)=sin C, 又A+B=π-C, 所以sin Bsin C=sin C, 由于sin C>0,所以sin B=, 又△ABC为锐角三角形,所以cos B=, 易知a=3,c=2, 所以由余弦定理得b=. (2)由于sin Asin C=,==, 所以=, 所以=,整理得b2=3ac, 由于b2=12,所以ac=4, 所以S△ABC=acsin B=×4×=. 　　素养探究:利用正弦定理可以将边的比和对应角的正弦值的比互化,余弦定理多用来将余弦值转化为边的关系.转化过程中主要用到三角恒等变换、因式分解、三角形内角和定理等知识,主要考查学生的数学运算的核心素养、转换能力及思维能力. 1-1　(2020山东日照一模)△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足ccos A+acos C=a. (1)求的值; (2)若a=1,c=,求△ABC的面积. 解析　(1)由正弦定理及ccos A+acos C=a得sin Ccos A+cos Csin A=sin A, 即sin(A+C)=sin A. 又sin(A+C)=sin(π-B)=sin B, 所以sin B=sin A. 由正弦定理可得b=a,故=1. (2)由a=1可知b=1. 所以cos C==-. 又0<C<π,所以C=. 所以S△ABC=absin C=×1×1×sin =. 素养二　逻辑推理 　　例2　已知在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,a=2,b=,同时还可能满足以下某些条件:①A=;②B>A;③sin B<sin A;④c=4. (1)写出所有满足条件的序号,并说明理由; (2)在(1)的条件下,求B及c的值. 解析　(1)①③. 根据大边对大角,可知A>B,故②不满足;③正确;若能构成三角形,则需要a+b>c,但2+<4,故④不满足;2>2×=