四.渐开线与摆线-【上课小助手】2020-2021学年高中数学（人教A版选修4-4）

四.渐开线与摆线 1、渐开线 2、摆线 1、渐开线 1、渐开线的定义 探究：P41 把一条没有弹性的细绳绕在一个圆盘上，在绳的 外端系上一支铅笔，将绳子拉紧，保持绳子与圆相切 而逐渐展开，那么铅笔会画出一条曲线。 这条曲线的形状怎样？能否求出它的轨迹方程？ 动点（笔尖）满足什么几何条件？ 我们把笔尖画出的曲线叫做圆的渐开线， 相应的定圆叫做渐开线的基圆。 A B M O 2、渐开线的参数方程 以基圆圆心O为原点，直线OA为x轴，建立平面 直角坐标系。 这就是圆的渐开线的参数方程。 A B M O x y 设基圆的半径为r，绳子外端M的坐标为（x，y）。 显然，点M由角 唯一确定。 2、渐开线的参数方程 渐开线的应用： 由于渐开线齿行的齿轮磨损少，传动平稳，制造安装较为方便， 因此大多数齿轮采用这种齿形。 设计加工这种齿轮，需要借助圆的渐开线方程。 在机械工业中，广泛地使用齿轮传递动力。 A B M O x y 2、摆线 3、摆线的定义 同样地，我们先分析圆在滚动过程中，圆周上的这个动点满足的几何条件。 我们把点M的轨迹叫做平摆线，简称摆线，又叫旋轮线。 上述问题抽象成数学问题就是：当一个圆沿着一条定直线无滑动地滚动时，圆周 上一个定点的轨迹是什么？ 摆线在它与定直线的两个相邻交点之间的部分叫做一个拱。 思考：P43 如果在自行车的轮子上喷一个白色印记，那么自行车在笔直 的道路上行使时，白色印记会画出什么样的曲线？ O A B M 3、摆线的参数方程 根据点M满足的几何条件，我们取定直线为X轴，定点M滚动时落在定 直线上的一个位置为原点，建立直角坐标系。 设圆的半径为r。 x y O D A E B M C O A B M 所以，摆线的参数方程为： 3、摆线的参数方程 x y O D A E B M C O A B M 摆线的参数方程为： 3、摆线的参数方程 摆线的参数方程为： 思考： 一个拱的宽度与高度各是什么？ 一个拱的宽度是 2 r ， 高度是 2r. (其中r是滚动圆的半径) x y O D A E B M C 在摆线的参数方程 中，参数 的取值 范围是什么？ 参数参数 的取值范围是 ; $