专题19 平行四边形、矩形、菱形-2020-2021学年八年级数学下学期尖子生培优讲义（全国）

专题19 平行四边形、矩形、菱形 例题与求解 【例l】如图，矩形ABCD的对角线相交于O，AE平分∠BAD，交BC于E，∠CAE＝15°，那么∠BOE＝________. 【例2】下面有四个命题： ①一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形； ②一组对边相等且一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ③一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形； ④一组对角相等且这一组对角的顶点所连结的对角线被另一条对角线平分的四边形是平行四边形； 其中，正确的命题的个数是（ ） A.1 B. 2 C. 3 D.4 【例3】如图，菱形ABCD的边长为2，BD＝2，E，F分别是边AD，CD上的两个动点且满足AE+CF＝2. （1）判断△BEF的形状，并说明理由； （2）设△BEF的面积为S，求S的取值范围. 【例4】如图，设P为等腰直角三角形ACB斜边AB上任意一点，PE⊥AC于点E，PF⊥BC于点F，PG⊥EF于点G，延长GP并在春延长线上取一点D，使得PD＝PC. 求证：BC⊥BD，BC＝BD. 【例5】在□ABCD中，∠BAD的平分线交直线BC于点E，交直线DC的延长线于点F. （1）在图1中证明CE＝CF； （2）若∠ABC＝90°，G是EF的中点（如图2），直接写出∠BDG的度数； （3）若∠ABC＝120°，FG∥CE，FG＝CE，分别连结DB，DG（如图3），求∠BDG的度数. 【例6】如图，△ABC中，∠C＝90°，点M在BC上，且BM＝AC，点N在AC上，且AN＝MC，AM与BN相交于点P. 求证：∠BPM＝45°. 能力训练 A级 1. 如图，□ABCD中，BE⊥CD，BF⊥AD，垂足分别为E、F，若CE＝2，DF＝1，∠EBF＝60°，则□ABCD的面积为________. 2. 如图，□ABCD的对角线相交于点O，且AD≠CD，过点O作OM⊥AC，交AD于点M，若△CDM周长为a，那么□ABCD的周长为 ________. 3. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BAC＝78°，过C作CF∥AB，连结AF与BC相交于G，若GF＝2AC，则∠BAG的大小是________. 4. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝∠EAF＝60°，∠BAE＝20°，则∠CEF的大小是________