专题一 规范答题1 函数与导数-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略课件（京津鲁琼辽鄂苏渝冀）专用

规范答题1　函数与导数 专题一　函数与导数 命题分析　 函数与导数问题高考中一般作为压轴题，考查函数的单调性、不等式证明、恒成立问题及零点问题等. 典例　(12分)(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex＋ax2－x. 当a＝1时，讨论f(x)的单调性； 步骤要点 (1)灵活变形：根据已知条件对要证(求)不等式(或方程)的结构进行变形，进行拆分或分离成适当形式，构造函数. (2)看性质：通过求导讨论等确定函数的单调性、最值等性质. (3)得结论：通过函数性质(或函数大致图象)求(证)得最后结论. 解　(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x， f′(x)＝ex＋2x－1， 1分 令g(x)＝ex＋2x－1，由于g′(x)＝ex＋2>0， 故f′(x)单调递增，注意到f′(0)＝0， 故当x∈(－∞，0)时，f′(x)<0，f(x)单调递减， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增. 3分 规范解答 ①当x＝0时，不等式为1≥1，显然成立，符合题意； 5分 故h′(x)单调递增，h′(x)≥h′(0)＝0， 故函数h(x)单调递增，h(x)≥h(0)＝0， 故当x∈(0,2)时，g′(x)>0，g(x)单调递增； 当x∈(2，＋∞)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 10分 则h′(x)＝ex－x－1， 令φ(x)＝ex－x－1(x≥0)，则φ′(x)＝ex－1≥0， 阅卷细则 (1)求出f′(x)即得1分； (2)构造函数g(x)得1分，g′(x)没有分解因式扣1分； (3)讨论时正确写出参数范围即得1分； (4)使用分离参数法酌情给分； (5)计算正确没有最后结论扣1分. (2)当x≥0时，f(x)≥x3＋1，求a的取值范围. (2)由f(x)≥x3＋1得， ex＋ax2－x≥x3＋1，其中x≥0. ②当x>0时，分离参数a得，a≥－， 记g(x)＝－， g′(x)＝－， 7分 由h(x)≥0可得ex－x2－x－1≥0恒成立， 令h(x)＝ex－x2－x－1(x≥0)， 因此，g(x)max＝g(2)＝， 综上可得，实数a的取值范围. 12分 $