第7讲 复数集内的方程-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

高一数学培优课—复数集内的方程 六、复数集内的方程 我们知道在实数集中解一元二次方程时，如果判别式，那么这一方程没有实数解。现在，我们先来讨论实系数一元二次方程在复数集中的解的问题。 设一元二次方程，因为，所以原方程可变形为 ． 配方，得，即． 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，因为的平方根为，此方程有两个不相等的虚数根． 这样实系数一元二次方程在复数集中一定有解，即当时，实系数一元二次方程在复数集中有一对互相共轭的虚数根． 容易验证，上述两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即，． 在复数集中，因为实系数的二次三项式所对应的方程总有两个解，所以在复数集中总可以分解成两个一次因式的乘积，即 ． 对于实系数一元次方程，还有下面两个重要的定理： （1）共轭虚根定理 如果虚数是实系数一元次方程的根，那么也是这方程的根。 （2）实系数一元次方程 在复数集内一定有个根：，并且有 ． 例题讲解： 例1. 已知方程的一个根是，求方程其它的根。 解： 是方程的根 也是方程的根。设第三个根为，则 所以方程的另外两个根是，。 例2. 设，在复数集中解方程． 解：设，则原方程化为， 从而有，由知，可见原方程有实根或纯虚根，下面进行分类讨论： 1）若时，则，将代入方程可得： ，则 时，原方程有实数根。 2）若时，则，将代入方程可得： （1） 若，则，从而得，此时原方程的纯虚数为 （2） 若，则，此时原方程的纯虚数为 （3） 若则不是实数，所以原方程无纯虚根。 综上，当时，原方程有实根和纯虚根；当，原方程有实根，纯虚数为；当时，原方程无纯虚根，只有实根。 例3. 已知复数满足和，则这样的实数共有几个？ 解： 为实数或纯虚数。 （1），则， （2）， （3）， 综上所述，共5个。 例4. 已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求． 解： 是实系数一元二次方程的两个虚根 又 课后作业： 1. 在复数范围内分解因式． 解： 2. 已知方程有两个根是，求方程的其它根。 解：实系数方程的虚根成对出现，则也是根。 利用待定系数法或者长除法得： 所以方程的其他根为。 3. 设，若二次方程有两个虚根，求需满足的充要条件。 解：若方程有实根，由方程组有实根，由方程组得若，则方程中无实根，所以。 因此。 当时，方程无实根。所以方程有两个虚根的充要条件为 4. 已知是关于的方程的两个根，求的值。 解：是关于的方程的两个根，则，解得：，且，。 当时，，此时。 当时，设。 若，则，则。 若，则，且 综上，当时，；当时，。 5. 已知关于的实系数方程的两根分别为，且，求的值。 解： （1） 1）若，则方程有实根，且 代入（1）得； 2）若，则方程有两个共轭虚根，且 解得：，代入（1）得。 综上所述，。 6.已知关于的实系数方程和的四个不同的根在复平面上对应的点共圆，求的取值范围 解：易知方程的两根为。 当，即-时，方程有两个共轭的虚根，且的实部为，这时在复平面内对应的点构成等腰梯形或矩形，它们共圆. 当，即或时，方程有两个不等的实根，则对应的点在以对应的点为直径端点的圆上，该圆的方程为： 即， 将工及对应点的坐标代入方程，即得， 故m的取值范围是。 $高一数学培优课—复数集内的方程 六、复数集内的方程 我们知道在实数集中解一元二次方程时，如果判别式，那么这一方程没有实数解。现在，我们先来讨论实系数一元二次方程在复数集中的解的问题。 设一元二次方程，因为，所以原方程可变形为 ． 配方，得，即． 当时，方程有两个不相等的实数根； 当时，方程有两个相等的实数根； 当时，因为的平方根为，此方程有两个不相等的虚数根． 这样实系数一元二次方程在复数集中一定有解，即当时，实系数一元二次方程在复数集中有一对互相共轭的虚数根． 容易验证，上述两个共轭虚数根同样满足一元二次方程中根与系数的关系，即，． 在复数集中，因为实系数的二次三项式所对应的方程总有两个解，所以在复数集中总可以分解成两个一次因式的乘积，即 ． 对于实系数一元次方程，还有下面两个重要的定理： （1）共轭虚根定理 如果虚数是实系数一元次方程的根，那么也是这方程的根。 （2）实系数一元次方程 在复数集内一定有个根：，并且有 ． 例题讲解： 例1. 已知方程的一个根是，求方程其它的根。 例2. 设，在复数集中解方程． 例3. 已知复数满足和，则这样的实数共有几个？ 例4. 已知是实系数一元二次方程的两个虚根，且，求． 课后作业： 1. 在复数范围内分解因式． 2. 已知方程有两个根是，求方程的其它根。 3. 设，若二次方程有两个虚根，求需满足的充要条件。 4. 已知是关于的方程的两个根