第6讲 复数的三角形式与棣莫弗定理-【新教材】2020-2021学年人教A版（2019）高中数学必修第二册培优课程训练（学生版+教师版）

五、复数的三角形式与运算 设非零复数在复平面上所对应的点是，所对应的向量是，则以实轴的正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫做复数的辐角，记作．非零复数有无限多个值，这些值中的任意两个相差的整数倍，我们把适合的辐角的值，叫做复数的辐角主值，记作．易知复数的辐角与辐角主值满足关系式（）． 这样，非零复数与它的一组模和辐角主值是一一对应的，两个非零复数当且仅当它们的模与辐角主值分别相等时才相等。 若复数，则所对应的向量是零向量。零向量的方向是任意的，所以复数的辐角也是任意的，辐角主值可以取内的任意一个值。 设，根据三角比的定义，我们有，即，所以． 这里就是复数的模，是的一个辐角。特别地，复数也可以写作．由此可见，任何复数都可以表示成的形式。 我们把叫做复数的三角形式，其中是复数的模，是的一个辐角。 下面，我们利用复数的三角形式来研究复数的乘法、除法、乘法及开方运算。 设复数，，按复数的代数形式的乘法法则有 ． 则． 即两个复数相乘，积的模等于两个复数模的乘积，积的辐角等于两个辐角的和。 除法是乘法的逆运算，即当时，商是指满足的复数．因为 ，所以 ． 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 复数三角形式的乘法法则可以推广到个复数： ． 如果在上式中取，，即得 ． 即复数的次幂的模等于这个复数的模的次幂，它的辐角等于这个复数辐角的倍，这个定理叫做棣莫弗定理。 设复数的次方根（）为，则， 即． 所以，得，． 因此，的次方根为．显然，复数的次方根仍然是． 当取各值时，可以得到的个不同的值（因为它们中任意两个的商都不为）。而当取其它整数值时，可以证明所得到的值必与前面已取得的个值重复，所以非零复数的次方根是个复数，它们是（）． 例1. 求的立方根。 例2. 已知复数满足，，求的值。 例3. 若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数． 例4. 已知，（），且 ，，求的值。 例5. 设复数，，并且，，求． 课后作业： 1. 计算． 2. 已知复数满足，，求． 3. 设复数，复数满足，已知的对应点在虚轴的负半轴上，且，求的代数形式。 4. 已知是的三个内角，三个复数，，，求的值。 5. 已知复数满足，且，，，求的值。 6. 已知，，求复数． 7. 已知，，，若在复平面上分别对应点，且，求的立方根。 $高一数学培优课—复数的三角形式与棣莫弗定理 五、复数的三角形式与运算 设非零复数在复平面上所对应的点是，所对应的向量是，则以实轴的正半轴为始边，向量所在的射线为终边的角叫做复数的辐角，记作．非零复数有无限多个值，这些值中的任意两个相差的整数倍，我们把适合的辐角的值，叫做复数的辐角主值，记作．易知复数的辐角与辐角主值满足关系式（）． 这样，非零复数与它的一组模和辐角主值是一一对应的，两个非零复数当且仅当它们的模与辐角主值分别相等时才相等。 若复数，则所对应的向量是零向量。零向量的方向是任意的，所以复数的辐角也是任意的，辐角主值可以取内的任意一个值。 设，根据三角比的定义，我们有，即，所以． 这里就是复数的模，是的一个辐角。特别地，复数也可以写作．由此可见，任何复数都可以表示成的形式。 我们把叫做复数的三角形式，其中是复数的模，是的一个辐角。 下面，我们利用复数的三角形式来研究复数的乘法、除法、乘法及开方运算。 设复数，，按复数的代数形式的乘法法则有 ． 则． 即两个复数相乘，积的模等于两个复数模的乘积，积的辐角等于两个辐角的和。 除法是乘法的逆运算，即当时，商是指满足的复数．因为 ，所以 ． 即两个复数相除，商的模等于被除数的模除以除数的模所得的商，商的辐角等于被除数的辐角减去除数的辐角所得的差。 复数三角形式的乘法法则可以推广到个复数： ． 如果在上式中取，，即得 ． 即复数的次幂的模等于这个复数的模的次幂，它的辐角等于这个复数辐角的倍，这个定理叫做棣莫弗定理。 设复数的次方根（）为，则， 即． 所以，得，． 因此，的次方根为．显然，复数的次方根仍然是． 当取各值时，可以得到的个不同的值（因为它们中任意两个的商都不为）。而当取其它整数值时，可以证明所得到的值必与前面已取得的个值重复，所以非零复数的次方根是个复数，它们是（）． 例1. 求的立方根。 解： 的立方根是 例2. 已知复数满足，，求的值。 解：设 解得：或 或 例3. 若复平面内单位圆上三点所对应的复数，满足且，求复数． 解：设 由可得 利用，解得， 当时，； 当时，