第8讲 多边形和平行四边形(讲义）-【教育机构专用】2021年春季八年级数学辅导讲义（沪教版）

第8讲 多边形和平行四边形 多边形是四边形章节第一节的内容，主要讲解的是多边形的内角和及外角和与边数之间的关系，比较基础，题目相对较简单．平行四边形是特殊的四边形的基础内容，奠定了特殊的四边形的基础，题型比较灵活，综合性也比较强，是综合证明题及计算题的理论依据，为进一步学习特殊的平行四边形打好基础． 模块一：多边形 知识精讲 1、由平面内不在同一直线上的一些线段首尾顺次联结所组成的封闭图形叫做多边形． 2、组成多边形的每一条线段叫做多边形的边；相邻的两条线段的公共端点叫做多边形的 顶点． 3、多边形相邻两边所在的射线组成的角叫做多边形的内角． 4、联结多边形的两个不相邻顶点的线段，叫做多边形的对角线． 5、对于一个多边形，画出它的任意一边所在的直线，如果其余各边都在这条直线的一侧， 那么这个多边形叫做凸多边形；否则叫做凹多边形． 6、多边形内角和定理：边形的内角和等于． 7、由多边形的一个内角的一边和另一边的反向延长线组成的角，叫做多边形的外角． 8、对多边形的每一个内角，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的所有外角的和， 叫做多边形的外角和． 9、多边形的外角和等于360°． 例题解析 例1．（2020·上海杨浦区·八年级期末）若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是（ ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】B 【分析】任意多边形的外角和为360°，然后利用多边形的内角和公式计算即可． 【详解】解：设多边形的边数为n．根据题意得：（n-2）×180°=360°， 解得：n=4．故选：B． 【点睛】本题主要考查的是多边形的内角和和外角和，掌握任意多边形的外角和为360°和多边形的内角和公式是解题的关键． 例2．（2019·上海金山区·八年级期中）八边形的内角和为________度． 【答案】1080 【详解】解：八边形的内角和= 例3．（2018·上海金山区·八年级期中）如果一个多边形的内角和是，那么这个多边形的边数是_________． 【答案】14 【分析】n边形的内角和可以表示成（n-2）•180°，设这个多边形的边数是n，就得到方程，从而求出边数． 【详解】解：设这个多边形的边数是n，则（n-2）•180°=2160°， 解得：n=14．则这个多边形的边数是14．故答案为：14． 【点睛】本题考查多边行的内角和定理，关键是根据n边形的内角和为（n-2）×180°解答． 例4．（2019·上海上外附中）边形的内角和是外角和的三倍，则_________ 【答案】8 【分析】根据“多边形的内角和是外角和的三倍”，结合边形的内角和公式和多边形的外角和为360°，列出关于的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：边形的内角和为：(−2)×180°，边形的外角和为：360°， 根据题意得：(−2)×180°=3×360°，解得：=8，故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和与外角和，正确掌握多边形的内角和公式和多边形的外角和为360°是解题的关键． 5．（2020·上海市静安区实验中学八年级课时练习）有两个各内角相等的多边形，它们的边数之比为1∶2，且第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，求这两个多边形的边数． 【答案】12；24. 【分析】设它们的边数分别为x、2x，根据多边形的内角和公式即可表示出每一个内角的度数，再根据第二个多边形的内角比第一个多边形的内角大15°，即可列方程求解． 【详解】解：设它们的边数分别为x、2x，由题意得 ，解得， 经检验是分式方程的根 答：这两个多边形的边数为12和24. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握多边形的内角和公式： 6．（2019·上海八年级课时练习）若一个多边形除了一个内角外，其余各内角之和为2570°，求这个内角的度数． 【答案】130° 【分析】设出相应的边数和未知的那个内角度数，利用内角和公式列出相应等式，根据边数为正整数求解，进而求出多边形的内角和，减去其余的角即可得到结果. 【详解】设这个内角度数为x°，边数为n，则（n-2）×180°-x=2570°， n×180°=2930°+x，即x＝n×180°﹣2930°，∵0°＜x＜180°， 解得16.2＜n＜17.2，又∵n为正整数，∴n=17， 则这个内角度数为180°×（17-2）-2570°=130°． 【点睛】解此题的关键在于利用内角和公式（n-2）×180°列出等式，再根据多边形内角的范围得到关于边数n的不等式，要注意多边形的边数n为正整数，所以在n的取值范围内取正整数即为n的值. 例7.（1）从五边形的一个顶点出发，可画出__________条对角线； （2）从一个多边形内的一点出发，分别联结各个顶点，可得出6个三角形，这个多边形共有__