专题一 第5讲 导数 母题突破2 恒成立问题与有解问题-2021【步步高】高考理科数学大二轮专题复习与增分策略课件（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫）通用

专题一　第5讲　导数的综合应用 母题突破2　恒成立问题与有解问题 内 容 索 引 母题突破2　 专题强化练 1 母题突破2　恒成立问题与有解问题 PART ONE 由题设知f′(1)＝0，解得b＝1. 思路分析 ❸求f(x)min 解　f(x)的定义域为(0，＋∞)， 所以不符合题意. 子题1　已知函数f(x)＝aln x＋x2－(a＋2)x.当a>0时，对于∀x∈[1，＋∞)，不等式f(x)>1－a2恒成立，求实数a的取值范围. 解　令g(x)＝f(x)＋a2－1(x≥1)， 有g′(x)≥0(当且仅当x＝1时取等号)， ∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝a2－a－2＝(a－2)(a＋1)<0，不符合题意. ∴g(x)在[1，＋∞)上单调递增， ∴g(x)min＝g(1)＝0，不符合题意. 当x>2时，h′(x)>0， ∴h(x)在(2，＋∞)上单调递增，∴h(x)>h(2)＝0. 综上所述，实数a的取值范围是(2，＋∞). 因此a＝2. 函数g(x)的导函数g′(x)＝k(1－x)e－x. ①当k>0时， 当x<1时，g′(x)>0，g(x)在(－∞，1)上单调递增；当x>1时，g′(x)<0，g(x)在(1，＋∞)上单调递减， ③当k<0时， 当x<1时，g′(x)<0，g(x)在(－∞，1)上单调递减； 当x>1时，g′(x)>0，g(x)在(1，＋∞)上单调递增， 若对∀x1∈(0，＋∞)，∃x2∈R，使得f(x1)－g(x2)≥0， 规律方法 (1)由不等式恒成立求参数的取值范围问题的策略 ①求最值法，将恒成立问题转化为利用导数求函数的最值问题. ②分离参数法，将参数分离出来，进而转化为a>f(x)max或a<f(x)min的形式，通过导数的应用求出f(x)的最值，即得参数的范围. (2)不等式有解问题可类比恒成立问题进行转化，要理解清楚两类问题的差别. 跟踪演练 1.(2020·全国Ⅱ改编)已知函数f(x)＝2ln x＋1.若f(x)≤2x＋c，求c的取值范围. 解　设h(x)＝f(x)－2x－c， 则h(x)＝2ln x－2x＋1－c， 当0<x<1时，h′(x)>0；当x>1时，h′(x)<0. 所以h(x)在区间(0,1)上单调递增，在区间(1，＋∞)上单调递减. 从而当x＝1时，h(x)取得最大值，最大值为h(1)＝－1－c. 故当－1－c≤0，即c≥－1时，f(x)≤2x＋c. 所以c的取值范围为[－1，＋∞). 2.已知函数f(x)＝(1－x)ex－1. (1)求f(x)的极值； 解　f′(x)＝－xex， 当x∈(0，＋∞)时，f′(x)<0，当x∈(－∞，0)时，f′(x)>0， ∴当x＝0时，f(x)有极大值f(0)＝e0－1＝0，f(x)没有极小值. 解　由(1)知f(x)≤0， 即方程m＝xln x在(0，＋∞)上有解， 记h(x)＝xln x，x∈(0，＋∞)，则h′(x)＝ln x＋1， 2 专题强化练 PART TWO 1 2 1 2 由h′(x)>0，得x>1，所以函数h(x)在(1，＋∞)上是增函数； 由h′(x)<0，得0<x<1，所以函数h(x)在(0,1)上是减函数， 故h(x)在x＝1处取得最小值，且h(1)＝1＋m. 2.已知函数f(x)＝x2e3x.当x>0时，恒有f(x)≥(k＋3)x＋2ln x＋1，求实数k的取值范围. 1 2 解　由x2e3x≥(k＋3)x＋2ln x＋1得， 1 2 令h(x)＝x2(1＋3x)e3x＋2ln x－1， 则可知函数h(x)在(0，＋∞)上单调递增，且x→0＋时， h(x)→－∞，h(1)＝4e3＋2ln 1－1>0， 从而存在x0∈(0,1)，使得h(x0)＝0， 1 2 所以当x∈(0，x0)时，g′(x)<0，g(x)单调递减； 当x∈(x0，＋∞)时，g′(x)>0，g(x)单调递增. 所以g(x)在(0，＋∞)上的最小值为g(x0)＝ ， 则2ln x0＋3x0＝ln t0，且1－2ln x0＝t0(1＋3x0)， 两式相加可得ln t0＋t0(1＋3x0)－1－3x0＝0， 1 2 记φ(t)＝ln t＋t(1＋3x0)－1－3x0， 则φ(t)在(0，＋∞)上单调递增，且φ(1)＝0，所以t0＝1. 从而g(x0)＝ 所以实数k的取值范围为(－∞，0]. 母题　(2014·全国Ⅰ)设函数f(x)＝aln x＋x2－bx(a≠1)，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为0. (1)求b； 解　f′(x)＝＋(1－a)x－b. (2)若存在x0≥1，使得f(x0)<，求a的取值范围. ❶存在x0≥1，使得fx0< ❷fxmin< 由(1)知，f(x)＝al