专题一 第5讲 母题突破3 零点问题-2021【步步高】高考文科数学大二轮专题复习与增分策略课件（皖黑吉陕新蒙晋赣青甘豫）通用

专题一　第5讲　导数的综合应用 母题突破3　零点问题 内 容 索 引 母题突破3　 专题强化练 1 母题突破3　零点问题 PART ONE 思路分析一 ❶f(x)有零点 　　　↓ ❷f(x)的性质、草图 　　　↓ ❸求导，确定f(x)的性质 思路分析二 ❶f(x)有零点 　　　↓ ❷a＝－xln x有解 　　　↓ ❸直线y＝a和曲线φ(x)＝－xln x有交点 　　　↓ ❹求导确定φ(x)的性质、草图 ①当a≤0时，f′(x)>0恒成立，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递增， 又f(1)＝ln 1＋a＝a≤0，当x→＋∞时，f(x)→＋∞， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有1个零点. ②当a>0，则x∈(0，a)时，f′(x)<0；x∈(a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以函数f(x)在(0，a)上单调递减，在(a，＋∞)上单调递增. 当x＝a时，f(x)取得最小值，且f(x)min＝ln a＋1， 又f(1)＝ln 1＋a＝a>0， 所以函数f(x)在定义域(0，＋∞)上有零点. a＝－xln x有解， 设φ(x)＝－xln x，则φ′(x)＝－ln x－1， 且x→0时，φ(x)→0，x→＋∞时，φ(x)→－∞， 子题1　(2020·全国Ⅰ)已知函数f(x)＝ex－a(x＋2). (1)当a＝1时，讨论f(x)的单调性； 解　当a＝1时，f(x)＝ex－(x＋2)，f′(x)＝ex－1， 令f′(x)<0，解得x<0，令f′(x)>0，解得x>0， 所以f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增. (2)若f(x)有两个零点，求a的取值范围. 解　f′(x)＝ex－a. ①当a≤0时，f′(x)>0， 所以f(x)在(－∞，＋∞)上单调递增. 故f(x)至多存在一个零点，不合题意. ②当a>0时，由f′(x)＝0，可得x＝ln a. 当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0； 当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0. 所以f(x)在(－∞，ln a)上单调递减，在(ln a，＋∞)上单调递增. 故当x＝ln a时，f(x)取得最小值，最小值为f(ln a)＝－a(1＋ln a). 因为f(－2)＝e－2>0， 所以f(x)在(－∞，ln a)上存在唯一零点. 由(1)知，当x>2时，ex－x－2>0. 故f(x)在(ln a，＋∞)上存在唯一零点. 从而f(x)在(－∞，＋∞)上有两个零点. 子题2　已知函数f(x)＝ln x＋x，方程x2＝2mf(x)(m>0)有唯一实数解，求m. 解　因为方程2mf(x)＝x2有唯一实数解， 所以x2－2mln x－2mx＝0有唯一实数解， 设g(x)＝x2－2mln x－2mx， 令g′(x)＝0，即x2－mx－m＝0. 因为m>0，x>0， 当x∈(0，x2)时，g′(x)<0，g(x)在(0，x2)上单调递减， 当x∈(x2，＋∞)时，g′(x)>0， g(x)在(x2，＋∞)上单调递增， 当x＝x2时，g′(x)＝0，g(x)取最小值g(x2)， 所以2mln x2＋mx2－m＝0， 因为m>0， 所以2ln x2＋x2－1＝0， (*) 因为当x>0时，h′(x)>0，h(x)单调递增， 所以h(x)＝0至多有一解， 因为h(1)＝0，所以方程(*)的解为x2＝1， 规律方法 解函数零点问题的一般思路 (1)对函数求导. (2)分析函数的单调性，极值情况. (3)结合函数性质画函数的草图. (4)依据函数草图确定函数零点情况. 解　f(x)的定义域为(0,1)∪(1，＋∞). 所以f(x)在(0,1)，(1，＋∞)上单调递增. 所以f(x)在(1，＋∞)上有唯一零点x1，即f(x1)＝0. 综上，f(x)有且仅有两个零点. 2.已知函数f(x)＝ax2－1－2ln x(a∈R). (1)当a＝1时，求证：f(x)≥0； 证明　当a＝1时，f(x)＝x2－1－2ln x(x>0)，f(1)＝0. 当x∈(0,1)时，f′(x)<0；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0， ∴f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增， ∴当x＝1时，函数f(x)取得最小值， ∴f(x)≥f(1)＝0，即f(x)≥0. (2)若函数f(x)有两个零点，求实数a的取值范围. 当a≤0时，f′(x)<0，函数f(x)在(0，＋∞)上单调递减，至多有一个零点，不符合题意. 当x→0时，f(x)→＋∞；当x→＋∞时，f(x)→＋∞. ∵函数f(x)有两个零点， 解得0<a<1. ∴实数a的取值范围是(0,1). 方法二　由f(x)＝ax2－1－2ln x＝0， ∵f(x)有两个零点，∴a＝h(x)有两个解， 由h′(x)>0，得ln x<0，∴0<x<1，