6.2 平行四边形的判定-【教材解读】2020-2021学年八年级下册初二数学（青岛版）

线 m 和n 之间的距离,即△ABC 和△ABD 同底 答图６．１Ｇ４ 等高,面积相等 (３)①如答图６．１Ｇ４．作法:连 接EC,过 点 D 作 DF∥EC 交BM 于点 F,连接 EF,则 线段EF 即为要修的直路． ②理由:△ECD 与△ECF 的 面积相等(同底等高),从而可知五边形 ABCDE 与 四边形ABFE 的面积相等． ６．２　平行四边形的判定 １．证明:因为 AE⊥AD,CF⊥BC,AD∥BC, 所以∠EAD＝∠FCB＝９０°,∠ADE＝∠CBF． 在△AED 和△CFB 中, ∠EAD＝∠FCB, AE＝CF, ∠ADE＝∠CBF, { 所以△AED≌△CFB,所以 AD＝BC． 又因为 AD∥BC,所以四边形 ABCD 是平行四边 形(一组对边平行且相等的四边形是平行四边形)． ２．证明:方法１:因为四边形 ABCD 为平行四边形, 所以 AB∥CD,AB＝CD．所以∠BAC＝∠DCA． 又因为 ∠BAC＋ ∠BAE＝１８０°,∠DCA＋ ∠DCF＝ １８０°,所以∠BAE＝∠DCF． 又因 为 AE ＝CF,所 以 △BAE ≌ △DCF．所 以 ∠BEA＝∠DFC． 所以 BE∥DF．同理可得 DE∥BF． 所以四边形 EBFD 是平 行 四 边 形(两 组 对 边 分 别 平行的四边形是平行四边形)． 答图６．２Ｇ１ 方法 ２:如 答 图 ６．２Ｇ１,连 接 BD 交AC 于点O． 因为四边形ABCD 为平行四 边形, 所以 AO＝CO,BO＝DO(平 行 四 边 形 的 对 角 线 互 相 平分)． 又因为 AE ＝CF,所 以 AO ＋AE ＝CO＋CF,即 OE＝OF． 所以四边形 EBFD 是平 行 四 边 形(对 角 线 互 相 平 分的四边形是平行四边形)． ３．证明:因为 E,F 分别是边AD,BC 的中点, 所以 AE＝DE＝ １ ２ AD,CF＝BF＝ １ ２ BC． 又因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AD∥BC,且 AD ＝BC,所 以 DE ∥BF,且 DE＝BF, 所 以 四 边 形 BFDE 是 平 行 四 边 形,所 以 ∠BED＝∠DFB． 所以∠AEG＝∠CFH ． 又因为 AD∥BC,所以∠EAG＝∠FCH ． 因 为 AE ＝ CF,所 以 △AGE ≌ △CHF,所 以 AG＝CH ． ４．解:设ys后,四边形 PDCQ 为平行四边形． 此时 DP＝(１０－２y)cm,CQ＝３ycm,DP＝CQ, 故１０－２y＝３y,解得y＝２, 所以２s后,四边形 PDCQ 为平行四边形, 此时四边形 PDCQ 的 周 长 是 ３×２×２＋１５×２＝ ４２(cm)． １．B　２．B　３．６　４．４５°　５．平行四边形 ６．证明:因为 AB∥DE,AC∥DF, 所以∠B＝∠DEF,∠ACB＝∠F． 因为 BE＝CF, 所以 BE＋CE＝CF＋CE, 即 BC＝EF． 在△ABC 和△DEF 中, ∠B＝∠DEF, BC＝EF, ∠ACB＝∠F, { 所以△ABC≌△DEF(ASA),所以 AB＝DE． 又因为 AB∥DE, 所以四边形 ABED 是平行四边形． ７．B　解析:①②,③ ④,① ③,① ④ 这 四 种 选 法 均 可 使四边形ABCD为平行四边形． 答图６．２Ｇ２ ８．证 明:如 答 图 ６．２Ｇ２,连 接 GE,FH ,EH ,FG． 因为四边形ABCD 是平行 四边形, ４ 所以 AB＝CD,AD＝BC,∠A＝∠C,∠D＝∠B． 因为 BG＝DH ,所以 AH ＝CG． 在△CFG 和△AEH 中, CF＝AE, ∠C＝∠A, CG＝AH, { 所以△CFG≌△AEH ．所以FG＝EH ． 同理,HF ＝EG．所 以 四 边 形 EHFG 是 平 行 四 边形． 所以 EF 与GH 互相平分． ９．证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AD＝BC,CD＝BA,∠DAB＝∠BCD． 因为 AF,CE 分别是∠DAB,∠BCD 的平分线, 所 以 ∠DAF ＝ ∠BAF ＝ １ ２ ∠DAB,∠DCE ＝ ∠BCE＝ １ ２ ∠ BCD．所 以 ∠DAF ＝ ∠BAF ＝ ∠DCE＝∠BCE． 在△ADF 和△CBE 中, AD＝CB, ∠DAF＝∠BCE, AF＝CE, { 所以△ADF≌△CBE(SAS),所以 DF＝BE． 在△CED 和△AFB 中, CD＝AB, ∠DCE＝∠BAF, CE＝AF, { 所以△CED≌△AFB(SAS),所以 DE＝BF． 所以四边形 BEDF 是平 行 四 边 形(两 组 对 边 分 别 相等的四边形是平行四边形)． １０．(１)证明:因为 AD∥BC,所以∠QDM ＝∠PCM ． 因为 M