6.3.1 矩形-【教材解读】2020-2021学年八年级下册初二数学（青岛版）

所以 AB＝CD,AD＝BC,∠A＝∠C,∠D＝∠B． 因为 BG＝DH ,所以 AH ＝CG． 在△CFG 和△AEH 中, CF＝AE, ∠C＝∠A, CG＝AH, { 所以△CFG≌△AEH ．所以FG＝EH ． 同理,HF ＝EG．所 以 四 边 形 EHFG 是 平 行 四 边形． 所以 EF 与GH 互相平分． ９．证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AD＝BC,CD＝BA,∠DAB＝∠BCD． 因为 AF,CE 分别是∠DAB,∠BCD 的平分线, 所 以 ∠DAF ＝ ∠BAF ＝ １ ２ ∠DAB,∠DCE ＝ ∠BCE＝ １ ２ ∠ BCD．所 以 ∠DAF ＝ ∠BAF ＝ ∠DCE＝∠BCE． 在△ADF 和△CBE 中, AD＝CB, ∠DAF＝∠BCE, AF＝CE, { 所以△ADF≌△CBE(SAS),所以 DF＝BE． 在△CED 和△AFB 中, CD＝AB, ∠DCE＝∠BAF, CE＝AF, { 所以△CED≌△AFB(SAS),所以 DE＝BF． 所以四边形 BEDF 是平 行 四 边 形(两 组 对 边 分 别 相等的四边形是平行四边形)． １０．(１)证明:因为 AD∥BC,所以∠QDM ＝∠PCM ． 因为 M 是CD 的中点,所以 DM ＝CM ． 又因为∠DMQ＝∠CMP, 所以△PCM ≌△QDM ． (２)解:当点 P 运动到距B 点 ６．５cm 时,四边 形 ABPQ 是平行四边形．理由如下: 因 为 △PCM ≌ △QDM ,所 以 可 设 DQ ＝PC ＝ xcm, 所以 BP＝BC－PC＝(８－x)cm,AQ＝AD＋DQ＝ (５＋x)cm． 当 BP＝AQ 时,四边形 ABPQ 是平行四边形, 所以８－x＝５＋x,解得x＝１．５． 所以 BP＝８－１．５＝６．５(cm)． 所以 当 点 P 运 动 到 距 B 点 ６．５cm 时,四 边 形 ABPQ 是平行四边形． １１．(１)证明:因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥DC,AB＝DC,AD＝BC． 因为∠DAB＝６０°,所以∠ADE＝６０°． 因为 AD＝AE,所以△ADE 是等边三角形． 同理,△BFC 是等边三角形． 所以 ED＝AD,BF＝BC．所以 DE＝BF． 又因为 AB＝DC,所以 AB＋BF＝CD ＋DE,即 AF＝CE． 因 为 AF ∥CE,所 以 四 边 形 AFCE 是 平 行 四 边形． (２)解:上述结论成立．证明如下: 因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥DC,AD∥BC,AB＝DC,AD＝BC． 所以∠EDA＝∠DAB,∠DAB＝∠CBF． 所以∠EDA＝∠CBF． 因为 AE＝AD,CF＝CB, 所以AE＝CF,∠AED＝∠EDA,∠CFB＝∠CBF． 所以∠AED＝∠CFB．所以△ADE≌△CBF． 所以 DE ＝BF．所 以 AB ＋BF ＝CD ＋DE,即 AF＝CE． 因 为 AF ∥CE,所 以 四 边 形 AFCE 是 平 行 四 边形． ６．３　特殊的平行四边形 ６．３．１　矩　形 答图６．３．１Ｇ１ １．１５°　 解 析:如 答 图 ６．３．１Ｇ１,连接 AC 交 BD 于点O． 因 为 四 边 形 ABCD 是矩形, 所以 AD∥BE,AC＝BD． 所以∠E＝∠DAE． 因为OA＝ １ ２ AC,OD＝ １ ２ BD, 所以 OA＝OD,所以∠CAD＝∠ADB＝３０°． 又 因 为 BD ＝ CE,所 以 CE ＝ CA,所 以 ５ ∠E＝∠CAE． 因为∠CAD＝∠CAE＋∠DAE, 所以∠E＋∠E＝３０°,即∠E＝１５°． ２．解:因为四边形 ABCD 是矩形, 所以 AB＝CD,AD＝BC,∠A＝∠D＝９０°． 因为 EF⊥EC,所以∠CEF＝９０°． 所以∠DEC＋∠AEF＝９０°． 又因为∠AFE＋∠AEF＝９０°,所以∠AFE＝∠DEC． 又因 为 EF ＝CE,所 以 △AEF ≌ △DCE．所 以 AE＝CD． 因为矩形 ABCD 的周长为３２cm, 所以AD＋CD＝１６cm,即AE＋DE＋CD＝１６cm． 因为 DE ＝４cm,所 以 AE ＋CD ＝１２cm,所 以 AE＝６cm． ３．C　４．１０° ５．证明:(１)因为 四 边 形 ABCD 是 矩 形,所 以 ∠A ＝ ∠D＝９０°． 在 Rt△AFE 和 Rt△DEC 中, EF＝EC, AF＝DE,{ 所 以 Rt △AFE ≌ Rt △DEC (HL), 所 以 ∠AFE＝∠DEC． (２)由(１),知∠AFE＝∠DEC． 因为∠AFE＋∠AEF＝９０°, 所以∠DEC＋∠AEF＝９０°, 所以∠CEF＝１８０°－(∠DEC＋∠AEF