6.3.2 菱形-【教材解读】2020-2021学年八年级下册初二数学（青岛版）

∠AEC＝９０°, 所以四边形 AFCE 是矩形． ９．证明:(１)因为四边形 ABCD 是平行四边形, 所以 AB∥CD,AB＝CD．所以∠ABF＝∠ECF． 因为CE＝DC,所以 AB＝CE． 又因为∠AFB＝∠EFC,所以△ABF≌△ECF． (２)因为 AB＝EC,AB∥EC, 所以四边形 ABEC 是平行四边形． 所以 AF＝EF,BF＝CF． 因为四边形ABCD 是平行四边形,所以∠ABC＝∠D． 又因为∠AFC＝２∠D,所以∠AFC＝２∠ABC． 又因为∠AFC＝∠ABF＋∠BAF, 所以∠ABF＝∠BAF．所以FA＝FB． 所以FA＝FE＝FB＝FC．所以 AE＝BC． 所以▱ABEC 是矩形． １０．解:(１)OE＝OF,证明如下: 因为CF 平分∠ACD,且 MN ∥BD, 所以∠ACF＝∠FCD＝∠CFO．所以OF＝OC． 同理可证OC＝OE．所以OE＝OF． (２)当点 O 运动到AC 中点时,四边形 AECF 是 矩形． 证明如下: 由(１),知OE＝OF,当点 O 运动到 AC 中点时,有 OA＝OC, 所以四边形 AECF 为平行四边形． 又因为CF 平分∠ACD,CE 平分∠ACB, 所以∠ACF＝ １ ２ ∠ACD,∠ACE＝ １ ２ ∠ACB． 所以∠ACF＋ ∠ACE＝ １ ２ (∠ACD ＋ ∠ACB)＝ １ ２ ×１８０°＝９０°,即∠ECF＝９０°, 所以▱AECF 是矩形． ６．３．２　菱　形 １．２４　２．６２° 答图６．３．２Ｇ１ ３．证明:如 答 图 ６．３．２Ｇ１,连 接 AE． 因 为 四 边 形 ADEF 是 菱形, 所以AD＝AF＝EF＝ED． 因为 AE＝AE, 所以△ADE≌△AFE(SSS), 所以∠DAE＝∠FAE． 又因为 AB＝AC,所以 BE＝CE． ４．证明:因为 AB＝AC,∠B＝６０°,所以△ABC 是等 边 三 角 形．所 以 ∠BAC ＝ ∠BCA ＝６０°,AB ＝ AC＝BC． 所以∠FAC＝∠ECA＝１２０°． 又因为 AD 平分∠FAC,CD 平分∠ECA, 所以∠DAC＝６０°,∠DCA＝６０°． 所以△ADC 是等边三角形．所以 AD＝AC＝DC． 所以 AB＝BC＝AD＝DC．所 以 四 边 形 ABCD 是 菱形． ５．证明:因为四边形 ABCD 是菱形, 所以 AB＝AD,AC⊥BD． 因为 E,F 分别为边AB,AD 的中点, 所以OE＝AE＝BE＝ １ ２ AB,OF ＝AF ＝DF ＝ １ ２ AD, 所以 AE＝AF＝OF＝OE,所以四边 形 AEOF 是 菱形． １．D　２．A　３．C　４．２８　５．２５° ６．证明:因为 AB∥DC,所以∠FCO＝∠EAO． 因为O 是AC 的中点,所以OA＝OC． 在△CFO 和△AEO 中, ∠FCO＝∠EAO, OC＝OA, ∠FOC＝∠EOA, { 所以△CFO≌△AEO．所以OF＝OE． 又因为 OA ＝OC,所 以 四 边 形 AECF 是 平 行 四 边形． 又因为 EF⊥AC,所以四边形 AECF 是菱形． ７．D ８．４　解析:因为四边形 ABCD 是矩形, 所以 AB ＝CD,AD ＝BC,∠A ＝ ∠B ＝ ∠C ＝ ∠D＝９０°． 因为 E,F,G,H 分别是四条边的中点, ７ 所 以 AE ＝ DG ＝ BE ＝ CG,AH ＝ DH ＝ BF＝CF, 所以△AEH ≌△DGH ≌△BEF≌△CGF, 所以 EH ＝EF＝FG＝GH , 所以四边形 EFGH 是菱形,所以 HF⊥EG． 因为 HF＝２,EG＝４,所 以 四 边 形 EFGH 的 面 积 为 １ ２ HF􀅰EG＝ １ ２ ×２×４＝４． ９．解:AD⊥EF．理由如下: 因为 DE∥AC,DF∥AB, 所以四边形 AEDF 是平行四边形,∠１＝∠ADF． 因为 AD 是 △ABC 的 角 平 分 线,所 以 ∠１＝ ∠２, 所以∠２＝∠ADF．所以 AF＝DF． 所以四边形 AEDF 是菱形．所以 AD⊥EF． １０．解:四边形 APCQ 是菱形．理由如下: 因为 AC ＝AD,AF 是 CD 边 上 的 中 线,所 以 AF⊥CD, 所以∠AFC＝９０°,所以∠ACF＋∠CAF＝９０°． 因为∠ACF＋∠PCA＝９０°, 所以∠PCA＝∠CAF．所以 PC∥AQ． 同理,AP∥QC． 所以四边形 APCQ 是平行四边形． 因为 AF∥CP,AE∥CQ, 所以∠EPC＝∠PAF,∠FQC＝∠FAP． 所以∠EPC＝∠FQC． 因为 AB＝AC,AE 平分∠BAC, 所以CE＝BE＝ １ ２ CB． 因为 AF 是CD 边上的中线,所以CF＝ １ ２ CD． 因为CB＝DC,所以CE＝CF