6.3.3 正方形-【教材解读】2020-2021学年八年级下册初二数学（青岛版）

所 以 AE ＝ DG ＝ BE ＝ CG,AH ＝ DH ＝ BF＝CF, 所以△AEH ≌△DGH ≌△BEF≌△CGF, 所以 EH ＝EF＝FG＝GH , 所以四边形 EFGH 是菱形,所以 HF⊥EG． 因为 HF＝２,EG＝４,所 以 四 边 形 EFGH 的 面 积 为 １ ２ HF􀅰EG＝ １ ２ ×２×４＝４． ９．解:AD⊥EF．理由如下: 因为 DE∥AC,DF∥AB, 所以四边形 AEDF 是平行四边形,∠１＝∠ADF． 因为 AD 是 △ABC 的 角 平 分 线,所 以 ∠１＝ ∠２, 所以∠２＝∠ADF．所以 AF＝DF． 所以四边形 AEDF 是菱形．所以 AD⊥EF． １０．解:四边形 APCQ 是菱形．理由如下: 因为 AC ＝AD,AF 是 CD 边 上 的 中 线,所 以 AF⊥CD, 所以∠AFC＝９０°,所以∠ACF＋∠CAF＝９０°． 因为∠ACF＋∠PCA＝９０°, 所以∠PCA＝∠CAF．所以 PC∥AQ． 同理,AP∥QC． 所以四边形 APCQ 是平行四边形． 因为 AF∥CP,AE∥CQ, 所以∠EPC＝∠PAF,∠FQC＝∠FAP． 所以∠EPC＝∠FQC． 因为 AB＝AC,AE 平分∠BAC, 所以CE＝BE＝ １ ２ CB． 因为 AF 是CD 边上的中线,所以CF＝ １ ２ CD． 因为CB＝DC,所以CE＝CF． 因为 PC⊥CD,QC⊥BC, 所以∠ECP＋∠PCQ＝∠QCF＋∠PCQ＝９０°． 所以∠PCE＝∠QCF． 所以△PEC≌△QFC(AAS)． 所以 PC＝QC．所以四边形 APCQ 是菱形． １１．解:(１)四边形 BEMN 是菱形．证明如下: 因为 EF∥BC,MN ∥AB, 所以四边形 BEMN 是平行四边形． 因为 EF∥BC,所以∠EMB＝∠MBN． 因为 BD 平分∠ABC, 所以∠EBM ＝∠MBN． 所以∠EBM ＝∠EMB．所以 EB＝EM ． 所以四边形 BEMN 是菱形． (２)答 案 不 唯 一,如 当 添 加 条 件 是 BA ＝BC 时, 四边形 EFCN 是平行四边形．理由如下: 因为 BA＝BC,BD 平分∠ABC,所以 BD⊥AC． 由(１),知四边形 BEMN 是菱形, 所以 BD⊥EN．所以 AC∥EN． 又因为 EF∥CN ,所 以 四 边 形 EFCN 是 平 行 四 边形． ６．３．３　正方形 １．解:在 正 方 形 ABCD 中,∠BCD ＝９０°,∠ACB ＝ ４５°,∠DCF＝９０°． 因为 AC＝CF,所以∠CAE＝∠F． 又因为 ∠CAE＋ ∠F＝ ∠ACB＝４５°,所 以 ∠F＝ ２２．５°． 所 以 ∠AEC ＝ ∠DCF ＋ ∠F ＝９０°＋２２．５°＝ １１２．５°． 答图６．３．３Ｇ１ ２．解:CG＝EB,且 CG⊥EB．理 由 如下: 如答图６．３．３Ｇ１,延 长 CG 交BE 于点F． 因为四边形 ABCD 是正方形, 所以OC＝OB,OA⊥OB, 所以∠COG＝∠BOE＝９０°． 又因为OE＝OG,所以△COG≌△BOE． 所以CG＝BE,∠CGO＝∠BEO． 因为∠CGO＋∠OCG＝９０°, 所以∠BEO＋∠GCO＝９０°, 所以∠EFC＝９０°,所以CG⊥EB． 答图６．３．３Ｇ２ ３．证 明:方 法 １:如 答 图 ６．３．３Ｇ２,因 为 ∠ACB ＝ ９０°,DE⊥AC,DF⊥BC, 所 以 四 边 形 DECF 是 ８ 矩形． 因为CD 平分∠ACB,所以∠１＝∠２． 又因 为 ∠ACB ＝９０°(即 AC ⊥BC),DF ⊥BC, 所以AC∥DF． 所以∠１＝∠３．所以∠２＝∠３． 所以FC＝FD．所以四边形 DECF 是正方形． 方 法 ２:因 为 DE ⊥AC,∠ACB ＝９０°(即 BC ⊥ AC), 所以 DE∥BC． 同 理,DF ∥AC．所 以 四 边 形 DECF 是 平 行 四 边形． 因为CD 平 分 ∠ACB,DE⊥AC,DF⊥BC,所 以 DE＝DF． 又因 为 ∠ACB ＝９０°,所 以 四 边 形 DECF 是 正 方形． ４．(１)证明:因 为 CE,CF 分 别 是 △ABC 的 内、外 角 平分线, 所以∠ACE＋∠ACF＝ １ ２ ×１８０°＝９０°． 因为AE⊥CE,AF⊥CF,所以∠AEC＝∠AFC＝９０°, 所以四边形 AECF 是矩形． (２)解:当 △ABC 满 足 ∠ACB ＝９０°时,四 边 形 AECF 是正方形．理由如下: 因为∠ACE＝ １ ２ ∠ACB＝４５°,∠AEC＝９０°, 所以∠EAC＝∠ACE＝４５°,所以 AE＝CE． 由(１),知 四 边 形 AECF 是 矩 形,所 以 四 边 形 AEC