6.4 三角形的中位线定理-【教材解读】2020-2021学年八年级下册初二数学（青岛版）

∠ACB＝９０°． 又因为∠FAC＋∠BAF＝９０°, 所以∠B＝∠BAF．所以 AF＝BF． (２)解:当 AB＝AC 时,四 边 形 AFCG 是 正 方 形． 理由如下: 因为 AG∥CF,所以∠AGE＝∠CFE． 又因为 E 是AC 的中点,所以 AE＝CE． 在 △AEG 和 △CEF 中,因 为 ∠AGE ＝ ∠CFE, ∠AEG ＝ ∠CEF,AE ＝ CE,所 以 △AEG ≌ △CEF．所以 AG＝CF． 又因为 AG ∥CF,所 以 四 边 形 AFCG 是 平 行 四 边形． 因为 AF＝CF,所以四边形 AFCG 是菱形． 在 Rt△ABC 中,因 为 AF ＝CF,AF ＝BF,所 以 BF＝CF． 又因为AB＝AC,所以AF⊥BC,所以∠AFC＝９０°． 所以四边形 AFCG 是正方形． １０．解:(１)猜想:BM ＝FN．证明如下: 因为△GEF 是 等 腰 直 角 三 角 形,四 边 形 ABCD 是正方形, 所以∠ABD＝∠F＝４５°． 因为点O 为 EF,BD 的 中 点,由 题 图 ① 知,BD＝ EF,所以OB＝OF．又因为∠BOM ＝∠FON,所以 △OBM≌△OFN． 所以 BM ＝FN． (２)BM ＝FN 仍然成立．证明如下: 因为△GEF 是 等 腰 直 角 三 角 形,四 边 形 ABCD 是正方形, 所 以 ∠DBA ＝ ∠GFE ＝４５°．所 以 ∠MBO ＝ ∠NFO＝１３５°． 由(１),知OB＝OF,又因为∠MOB＝∠NOF, 所以△OBM ≌△OFN．所以 BM ＝FN． ６．４　三角形的中位线定理 １．C 答图６．４Ｇ１ ２．解:如 答 图 ６．４Ｇ１,延 长 线段 BN 交AC 于点E． 因为 AN 平分∠BAC, 所 以 ∠BAN ＝ ∠EAN, AN ＝ AN,∠ANB ＝ ∠ANE＝９０°, 所以△ABN ≌△AEN , 所以AE＝AB＝６,BN ＝NE． 又因为 M 是△ABC 的边BC 的中点, 所以CE＝２MN ＝２×１．５＝３, 所以△ABC 的周长 是 AB ＋BC＋AC＝６＋１０＋ ６＋３＝２５． 答图６．４Ｇ２ ３．证 明:如 答 图 ６．４Ｇ２,延 长 AC,BD 交 于 点 F．因 为 AD 平分∠BAC, 所以∠BAD＝∠FAD． 又因为 BD⊥AO, 所以∠ADB＝∠ADF＝９０°． 又因为 AD＝AD, 所以△ABD≌△AFD(ASA)． 所以 AB＝AF,BD＝FD． 所以 AB－AC＝AF－AC＝CF． 又因为 E 是BC 的中点, 所以 ED 是△BCF 的中位线．所以 ED＝ １ ２ CF． 所以 ED＝ １ ２ (AB－AC)． ４．解:因为 E,F 分别是BA,BC 的 中 点,所 以 EF＝ １ ２ AC． 同理可得,HG＝ １ ２ AC． 因为 E,H 分 别 是 AB,AD 的 中 点,所 以 EH ＝ １ ２ BD． 同理可得FG＝ １ ２ BD． 因为 AC＝BD,所以 EF＝FG＝GH ＝HE． 因为 EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝４０cm,所 以 EF ＝ １０cm． 所以 AC＝２EF＝２０cm． １．C　２．C　３．D　４．５ ５．３０　解析:因为 DE∥BC,所以∠D＝∠CBD． 因为 BD 平分∠ABC,所以∠EBD＝∠CBD, ０１ 所以∠D＝∠EBD,所以 EB＝ED． 因为EF⊥BD,所以BO＝DO,∠DOE＝∠BOF＝９０°, 所以△DOE≌△BOF,所以 BF＝DE． 因为 P 是ED 的中点,OP＝１５, 所以 DE＝２OP＝３０,所以 BF＝３０． 答图６．４Ｇ３ ６．证 明:如 答 图 ６．４Ｇ３,延 长 AE 交BC 于点F． 因 为 CE 平 分 ∠ACB, AE⊥CE, 所 以 ∠ACE ＝ ∠FCE, ∠AEC＝∠FEC＝９０°． 在△ACE 和△FCE 中, ∠AEC＝∠FEC, EC＝EC, ∠ACE＝∠FCE, { 所以△ACE≌△FCE(ASA)．所以 AE＝EF． 又因为 D 是AB 的中点, 所以 DE 是△ABF 的中位线,所以 DE∥BC． ７．C　解析:设△ABC 的 周 长 为C△ABC ,则 C△ABC ＝ AB＋BC＋CA ＝AB＋１０＋CA ＝２６,所 以 AB＋ CA＝１６．因为 BQ 平 分 ∠ABC,且 BQ⊥AE,所 以 ∠ABQ＝∠EBQ,∠AQB＝ ∠EQB＝９０°．又 因 为 BQ＝BQ,所 以 △ABQ≌ △EBQ．所 以 AQ＝EQ, 即 BQ 是AE 的垂直平分线．所 以 BA＝BE．同 理, AP＝DP,CD＝CA．所 以 AB＋BE＋CA＋CD ＝ ２AB＋２CA＝C△ABC ＋DE,即 ２×１６＝２６＋DE． 所以