7.4 勾股定理的逆定理-【教材解读】2020-2021学年八年级下册初二数学（青岛版）

答图７．２Ｇ４ １１．证 明:过 点 A 作 AE ⊥ BC 于点E,如答图７．２Ｇ４． 在 Rt△ABE,Rt△ACE 和Rt△ADE中, AB２＝AE２＋BE２,AC２＝ AE２＋CE２,AE２＝AD２－ED２, 所以AB２＋AC２＝(AE２＋BE２)＋(AE２＋CE２) ＝２(AD２－ED２)＋(DB－ED)２＋(DC＋ED)２ ＝２AD２ －２ED２ ＋DB２ －２DB 􀅰ED ＋ED２ ＋ DC２＋２DC􀅰ED＋ED２ ＝２AD２＋DB２＋DC２＋２ED􀅰(DC－DB)． 又因为 AD 是△ABC 的中线, 所以 DB＝DC, 所以AB２＋AC２＝２AD２＋２DC２＝２(AD２＋DC２)． ７．３　 ２是有理数吗 １．D　２．B ３．解:由勾股定理,得x２＝９２＋５２＝１０６． (１)因为１００＜１０６＜１２１,即１００＜x２＜１２１． 所以１０＜x＜１１,即x 在整数１０与１１之间． (２)因为１０．１２＝１０２．０１,１０．２２ ＝１０４．０４,１０．３２ ＝ １０６．０９, 所以１０．２２＜１０６＜１０．３２,所以x 的十分位是２． 因为１０．２９２＝１０５．８８４１,１０．３０２＝１０６．０９, 所以１０．２９２＜１０６＜１０．３０２,所以x 的百分位是９． １．C　２．B　３．C　４．２　５．２ ２ 答图７．３Ｇ１ ６．解:如 答 图 ７．３Ｇ１ 所 示,在 数 轴上把表示数０的点记作O． (１)过 数 轴 上 表 示 ３ 的 点 作 数轴的垂线,垂足为点 A; (２)在垂线上截取 AB＝１, 则OB＝ ３２＋１２ ＝ １０; (３)以点O 为圆心,OB 为 半 径 画 弧 交 数 轴 上 点A 的右侧 于 点 C,则 OC ＝ １０．所 以 点 C 为 所 求 的点． ７．A　解析:因为点 P 的坐标为(－２,３), 所以 OP＝ ２２＋３２ ＝ １３． 由题意,知 点 A,P 均 在 以 点O 为 圆 心,OP 为 半 径的圆上, 所以 OA＝OP＝ １３． 因为 ９＜ １３＜ １６,所以３＜ １３＜４． 因为点 A 在x 轴的负半轴上, 所以点 A 的横坐标介于－４和－３之间． 答图７．３Ｇ２ ８．解:如答图７．３Ｇ２所示,△ABC 的面 积为３．５． ９．解:设 AC＝x m,则 AB＝ １ ３ x m． 根据 勾 股 定 理,得 １ ３x( ) ２ ＋６２ ＝ x２,x２＝４０．５,x＝ ４０．５． 因为６．５２＝４２．２５＞４０．５,所以 ４０．５＜６．５,所以准 备６．５m 的缆绳够用． 答图７．３Ｇ３ １０．解:(１)拼成的大正方形的面积是５． (２)满足a２＝５． (３)a 既 不 是 整 数,也 不 是 分 数,故 a 不是有理数． (４)所拼成的大正方形如答图７．３Ｇ３中虚线所示． ７．４　勾股定理的逆定理 １．直角 ２．解:以x,y,z 为三边长的三角形是直角三角形． ３．解:AC⊥BC．理由如下: 因为CD⊥AB,所以∠ADC＝∠CDB＝９０°． 所以 在 Rt△ADC 中,AC２ ＝AD２ ＋CD２ ＝１２ ＋ ２２＝５, 在 Rt△BDC 中,BC２＝BD２＋CD２＝４２＋２２＝２０． 所以 AC２＋BC２＝５＋２０＝２５． 因为 AB＝AD＋BD＝５,所以 AB２＝５２＝２５, 所以 AC２＋BC２＝AB２． 所以 △ABC 是 直 角 三 角 形,且 ∠ACB ＝９０°,即 ６１ AC⊥BC． ４．解:因为 AD 是中线,BC＝２０m, 所以 BD＝ １ ２ BC＝１０m． 又因为１０２＋２４２＝２６２,即 BD２＋AD２＝AB２, 所以△ABD 是直角三角形,所以 AD⊥BC． 所以 S△ABC ＝ １ ２ BC 􀅰 AD ＝ １ ２ ×２０×２４＝ ２４０(m２)． 因为每平方米种植花草需要５０元, 所以共需５０×２４０＝１２０００(元)． 答:种植这块三角形空地需要１２０００元． ５．解:(１)观察题表,得y＝x＋２． 因为６０２＋x２＝y２,所以６０２＋x２＝(x＋２)２, 解得x＝８９９,所以y＝９０１． (２)猜想:(２n＋２)２＋(n２＋２n)２＝(n２＋２n＋２)２． 理由:因 为 (２n＋２)２ ＋ (n２ ＋２n)２ ＝ (２n＋２)２ ＋ n４＋４n３＋４n２ ＝ (２n＋２)２ ＋n４ ＋２n２(２n＋２)＝ (n２＋２n＋２)２, 所以２n＋２,n２＋２n,n２＋２n＋２ 是一组勾股数． １．B　２．B　３．C　４．A　５． １２　６．９ ７．解:在△ABC 中,AC＝３０×２＝６０(海里), AB＝４０×２＝８０(海里), 所以 AC２＋AB２＝６０２＋８０２＝１００００． 因为BC２＝１００２＝１００００,所以AC２＋AB２＝BC２