专题1.3 数列-常规型-2021年高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

专题1.3 数列-常规型 （1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法． （2）数列求和的常用方法： ①对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； ②对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； ③对于结构，利用分组求和法； ④对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和． （3）数列求和的常用方法：（设数列是等差数列，是等比数列） ①公式法：等差数列或等比数列的求和直接应用公式求和； ②错位相减法：数列的前项和应用错位相减法； ③裂项相消法；数列（为常数，）的前项和用裂项相消法； ④分组（并项）求和法：数列用分组求和法，如果数列中的项出现正负相间等特征时可能用并项求和法； ⑤倒序相加法：满足（为常数）的数列，需用倒序相加法求和． （4）裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧： ①；② ； ③；④；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误． （5）数列求和的方法技巧 ①倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． ②错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． ③分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和． 1．已知数列的前项和为． （1）证明：数列为等比数列，并求出． （2）求数列的前项和． 2．已知分别是等差数列和等比数列，，且． （1）若成等差数列，求的通项公式； （2）当时，证明：． 3．设为数列的前项和，已知，对任意，都有． （1）求数列的通项公式； （2）若数列的前项和为． ①求； ②若不等式对任意的恒成立，求实数的取值范围． 4．设数列满足，且，． （1）证明：数列为等比数列； （2）设，求数列的前项和． 5．已知Sn为数列{an}的前n项和，a1=1，Sn=an+1-1． （1）求{an}的通项公式； （2）若数列{bn}满足2bn+1+Sn+1=2bn+2an，证明数列{an+bn}为等差数列，并求其公差． 6．已知公差的等差数列，是的前项和，，是和的等比中项． （1）求的通项公式； （2）设数列满足，且的前项和为，求证． 7．已知等差数列的前三项依次为，8，，前项的和为，． （1）求及的值； （2）设数列满足，且的前项和为，求． 8．已知等差数列和等比数列满足，，，． （1）求和的通项公式； （2）数列和中的所有项分别构成集合，，将的所有元素按从小到大依次排列构成一个新数列，求数列的前60项和． 9．已知各项均为正数的等差数列{an}满足a1=1，． （1）求{an}的通项公式； （2）记b=，求数列{bn}的前n项和Sn． 10．已知数列的前项和为，，，． （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，，求的值． 11．已知等差数列的前项和为，，且，，成等比数列． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前项和． 12．设等差数列的前项和为，已知，且是与的等比中项． （1）求的通项公式； （2）若．求证：，其中． 13．已知正项数列的前项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，数列前项和为，求使的最小的正整数的值． 14．已知为数列的前项和，数列是等差数列，且，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 15．为数列的前项和，已知，． （1）求通项公式； （2）设，数列的前项和，若，求整数值． 16．已知等比数列的前项和为，且，数列满足，其中． （1）分别求数列和的通项公式； （2）在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，求数列的前项和． 17．已知公比小于1的等比数列中，其前n项和为． （1）求； （2）求证：． 18．设是各项都为正的单调递增数列，已知，且满足关系式：，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 19．已知首项为4的数列的前n项和为，且． （1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 20．设数列满足，． （1）求数列的通项公式； （2）令，求数列的前项和． ( 6 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ $ 专题1.3 数列-常规型 （1）证明一个数列是否为等差数列的基本方法有两种：一是定义法，证明an－an－1＝d(n≥2，d为常数)；二是等差中项法，证明2an＋1＝an＋an＋2．若证明一个数列不是等差数列，则只需举出反例即可，也可以用反证法． （2）数列求和的常用方法： ①对于等差等