专题训练(二) 圆中漏解问题面面观-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】沪科版（教用）

专题训练(二)　圆中漏解问题面面观 易错点一　忽视点与圆的位置的分类 １．已知点 P 是☉O 所在平面内一定点,点 P 到圆上的 最大距离和最小距离分别为６cm 和４cm,则该圆的 半径是多少? 解:分两种情况:①当点P 在☉O 内时,圆的直径等于 １０cm,则半径为５cm;②当点P 在☉O 外时,直径等 于２cm,则半径为１cm．综上所述,该圆的半径为５cm 或１cm 易错点二 　 不能全面考虑两条平行弦与圆 心 的 位 置 关系 ２．已知☉O 的半径是５,弦 AB∥CD,AB＝８,CD ＝６, 求 AB 与CD 之间的距离． 解:(１)当弦 AB 和CD 在圆心同侧时, 如图①,作 OF⊥CD,垂足为 F,交 AB 于点E．∵AB∥CD,∴OF⊥AB,∴AE ＝ １ ２ AB＝４,CF＝ １ ２ CD＝３．连 接 OA, OC．在 Rt△AOE 中,OE＝ AO２－AE２ ＝ ５２－４２ ＝ ３．在 Rt△COF 中,OF＝ CO２－CF２ ＝ ５２－３２ ＝４, ∴EF＝OF－OE＝１; (２) 当 弦 AB 和 CD 在 圆 心 异 侧 时, 如 图 ②, 作 OF ⊥ CD,垂足为F,延长 FO 交AB 于点E． 由①可知 EO＝３,OF＝４,∴EF＝OF ＋OE＝７．故AB 与CD 之间的距离为１或７ 易错点三　对两弦之间的夹角考虑不周 ３．已知☉O 的半径为１,弦 AB＝ ２,AC＝１,求∠A 的 度数． 解:(１) 过 点 O 作 OE ⊥ AB 于 点E, 连 接 OA,OC (如图①)．∵OE⊥AB,AB ＝ ２,∴AE＝ １ ２ AB＝ ２ ２ ． 在 Rt△AOE 中,OE＝ AO２－AE２ ＝ １－ １ ２ ＝ ２ ２ , ∴OE＝AE,∴∠BAO＝４５°．在△AOC 中,∵OA＝OC ＝AC＝１,∴ △AOC 是 等 边 三 角 形,∴ ∠CAO＝６０°, ∴∠BAC＝∠CAO＋∠BAO＝６０°＋４５°＝１０５°;(２)由 ①可知∠EAO＝４５°,∠OAC＝６０°,∴∠BAC＝∠OAC －∠EAO＝１５°(如图②)．综上所述,∠BAC 的度数为 １０５°或１５° ４．已 知 ☉O 的 直 径 AB ＝２ ２ cm,过 点 A 有 两 条 弦 AC＝２cm,AD＝ ６cm,求劣弧CD 的度数． 解:(１)如图①,连接BC,BD．∵AB 是直径,∴∠ACB ＝∠ADB＝９０°．∴cos∠CAB＝ AC AB ＝ ２ ２ ,即 ∠CAB＝ ４５°,cos∠DAB＝ AD AB ＝ ３ ２ ,即∠DAB＝３０°,∴∠CAD ＝１５°．∴劣弧CD 的度数＝２×１５°＝３０°;(２)如图②, 连 接 BC,BD．∵AB 是 直 径, ∴ ∠ACB ＝ ∠ADB ＝ ９０°, ∴cos∠CAB ＝ AC AB ＝ ２ ２ , 即 ∠CAB ＝４５°,cos ∠DAB ＝ AD AB ＝ ３ ２ , 即 ∠DAB ＝３０°, ∴ ∠CAD ＝ ∠CAB＋∠DAB＝７５°,∴ 劣 弧CD 的 度 数 是 ７５°×２ ＝１５０°．∴劣弧CD 的度数是３０°或１５０° 易错点四　弦所对弧是优弧还是劣弧不确定 ５．已知横截面直径为 １００cm 的圆形下水道,若水面宽 AB 为８０cm,求下水道中水的深度． 解:分以 下 两 种 情 况:(１) 当 弦 AB 所 对 的 弧 为 优 弧 (圆 心在水面 以 下) 时, 如 图 ①, 连接OA,OB,过点 O 作OC ⊥AB 于 点C．∵OC⊥AB,∴AC＝BC＝４０cm．又 ∵ OA＝５０cm,∴OC＝ OA２－AC２ ＝ ５０２－４０２ ＝３０ (cm)．∴水深h＝５０＋３０＝８０(cm);(２)当弦AB 所对 的弧为劣弧(圆心在水面以上)时,如图②,连接 OA, OB,过点O 作OC⊥AB 于点C．∵OC⊥AB,∴AC＝ BC＝４０cm．又∵OA＝５０cm,∴OC＝ OA２－AC２ ＝ ５０２－４０２ ＝３０(cm)．∴水深h＝５０－３０＝２０(cm)．综 上,下水道中水的深度为８０cm 或２０cm 易错点五　不能全面考虑三角形与外心的位置关系 ６．点O 是△ABC 的外心,若∠BOC＝８０°,则∠BAC 的 度数为(C ) A．４０° B．１００° C．４０°或１４０° D．４０°或１００° ７．若 △ABC 内 接 于 ☉O,∠OBC＝３５°,则 ∠A 的 度 数 为　５５°或１２５°　． ３２ ８．已知在等腰三角形 ABC 中,AB＝AC,三角形的外接 圆半径OB＝５cm,圆心 O 到BC 的距离为３cm,求 AB 的长． 解:当三角形的外心在三角形的内部时,如图①,连接 AO 并延长,交BC 于点D． ∵AB＝AC,O 为外心,∴AD ⊥BC．在 Rt△BOD