24.5 三角形的内切圆-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】沪科版（教用）

２４．５　三角形的内切圆 知识点１　三角形的内切圆及作图 １．三角形的内心是指(B ) A．三条垂直平分线的交点 B．两条内角平分线的交点 C．三条中线的交点 D．三条高的交点 ２．△ABC 的内切圆O 和各边分别相切于点D,E,F,则 点O 是△DEF 的(D ) A．三条中线的交点 B．三条高的交点 C．三条角平分线的交点 D．三条边的垂直平分线的交点 ３．制作铁皮桶,需在一块三角形材料上截取一个面积最 大的圆,请画出该圆．(保留作图痕迹,不要求写作法) 解:作出三角形的角平分线 BD, CE,角 平 分 线 交 点 O 即 为 所 画 圆的圆 心, 过 O 作OF ⊥BC, 垂 足为 F, 以 O 为 圆 心,OF 为 半 径,☉O 即为所求作的圆 知识点２　三角形的内切圆的性质 ４．若三角形的内心和外心重合,则这个三角形是(D ) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．等边三角形 ５．如 图,☉O 是 △ABC 的 内 切 圆,D,E,F 是 切 点, ∠A＝５０°,∠C＝６０°,则∠DOE 等于(B ) A．７０° B．１１０° C．１２０° D．１３０° 第５题图 　　　　 第６题图 ６．如图,在△ABC 中,∠A＝４５°,I 是内心,则∠BIC 等 于(A ) A．１１２．５° B．１１２° C．１２５° D．５５° ７．正三角形的内切圆半径为１,那么这个正三角形的边 长为(D ) A．２ B．３ C．３ D．２ ３ ８．如图,△ABC 的内切圆☉O 与BC,CA,AB 分别相切 于点 D,E,F,且 AB ＝１８cm,BC ＝２８cm,CA ＝ ２６cm,求 AF,BD,CE 的长． 解:根据切线长定理得AE＝AF, BF＝BD,CE＝CD．设 AF＝AE ＝xcm, 则 CE＝CD ＝ (２６－x) cm,BF＝BD＝(１８－x)cm．∵BC ＝２８cm,∴BD＋CD＝２８cm．∴(１８－x)＋(２６－x) ＝２８．解得x＝８．∴AF＝８cm,BD＝１０cm,CE＝１８cm ９．如图,圆O 是△ABC 的内切圆,切点分别为D,E,F, AB＝AC＝１３,BC＝１０,求圆O 的半径． 解:连接AF,则AF⊥BC．在 Rt△ABF 中,BF＝ １ ２ BC＝ １ ２ ×１０＝５,则 AF＝ AB２－BF２ ＝ １３２－５２ ＝ １２, 则 S△ABC ＝ １ ２ BC􀅰AF ＝ １ ２ ×１０×１２＝ ６０．设圆O 的半径是r,则 １ ２ (１３＋１３＋ １０)􀅰r＝６０,解得r＝ １０ ３ 易错点:混淆内心、外心 ９．如 图,已 知 △ABC 的 内 心 为 点 O, ∠BOC＝１１０°,则∠BAC＝　４０°　． １３ １１．如图是油路管道的一部分,延伸外围的支路恰好构 成一个直角三角形,两直角边分别为３ m 和４ m．按 照输油中心O 到三条支路的距离相等来连接管道, 则O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线,中 心O 为点)是(B ) A．２m B．３m C．４m D．６m 第１１题图 　　　　 第１２题图 １２．如图,O 是 △ABC 的 内 心,过 点 O 作EF∥AB,与 AC,BC 分别交于点E,F,则(C ) A．EF＞AE＋BF B．EF＜AE＋BF C．EF＝AE＋BF D．EF≤AE＋BF １３．«九章 算 术»是 我 国 古 代 内 容 极 为丰富的数学名著,书中有下列 问题“今有勾八步,股十五步,问 勾中容圆径几何?”其意思是:“今 有 直 角 三 角 形,勾 (短直角边)长为８步,股(长直角边)长为１５步,问 该直角三角形能容纳的圆形(内切圆)直径是多少?” (C ) A．３步 B．５步 C．６步 D．８步 １４．我们把在同一个平面内,两个三角形的内心之间的 距离叫做“内心距”,现平面内有两个边长相等的等 边三角形,当它们只有一边重合时“内心距”为３,则 当它们的一对内角成对顶角时“内心距”为　６　． １５．如图,已 知 点I 是 △ABC 的 内 心,AI 的 延 长 线 交 BC 于点 D,交 △ABC 的 外 接 圆 于 点 E,连 接 EC． 求证: (１)IE＝EC; (２)IE２＝ED􀅰EA． 证明:(１)连接IC．∵点I 是△ABC 的内心,∴∠ACI＝∠BCI,∠BAE ＝ ∠CAE．又 ∵ ∠BAE ＝ ∠BCE, ∴ ∠CAE ＝ ∠BCE．∴ ∠CAE ＋ ∠ACI ＝ ∠ICB ＋ ∠BCE．∴ ∠EIC＝∠ICE,∴IE＝EC (２) 由 (１) 可 知: ∠CAE ＝ ∠BCE．又 ∵ ∠AEC ＝ ∠DEC,∴ △DCE ∽ △CAE．∴ CE AE ＝ DE CE , ∴CE２ ＝ DE􀅰EA．∵IE＝EC,∴IE２＝D