24.6 第1课时 正多边形与圆-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】沪科版（教用）

２４．６　正多边形与圆 第１课时　正多边形与圆 知识点１　正多边形的概念 １．对于以下说法:① 各 角 相 等 的 多 边 形 是 正 多 边 形;② 各边相等的三角形是正三角形;③各 角 相 等 的 圆 内 接 多边形是正多边形;④各顶点等 分 外 接 圆 的 多 边 形 是 正多边形．你认为正确的有(B ) A．１个 B．２个 C．３个 D．４个 ２．正十边形的每个外角等于(B ) A．１８° B．３６° C．４５° D．６０° ３．如图,在 ☉O 中,OA ＝AB,OC⊥AB,则下列结 论 错 误的是(D ) A．弦 AB 的长等于圆内接正六边形的边长 B．弦 AC 的长等于圆内接正十二边形的边长 C．AC ︵ ＝BC ︵ D．∠BAC＝３０° 第３题图 　　　　 第４题图 ４．如图,正六边形 ABCDEF 内接于☉O,若直线 PA 与 ☉O 相切于点A,则∠PAB 等于(A ) A．３０° B．３５° C．４５° D．６０° ５．若一个多边形的内角和是其外角和的３倍,则这个多 边形的边数是　８　． ６．正多边形的一个外角等于 ２０°,则这个正多边形的边 数是　１８　． ７．如图,AD 是正五边形ABCDE 的 一条对角线,则∠BAD＝　７２°　． ８．如 图,五 边 形 ABCDE 内 接 于 ☉O,AB＝BC＝CD ＝DE＝EA． 求证:五边形 ABCDE 是正五边形． 证 明: ∵AB ＝BC ＝CD ＝DE ＝ EA,∴AB ︵ ＝BC ︵ ＝CD ︵ ＝DE ︵ ＝EA ︵, ∴BCE ︵ ＝CEA ︵,又∵∠A 的度数等 于BCE ︵ 度数 的 一 半,∠B 的 度 数 等 于CEA ︵ 度数的一半,∴ ∠A＝ ∠B, 同理:∠B＝∠C＝ ∠D ＝ ∠E,∴ 五 边 形 ABCDE 是 正五边形 知识点２　等分圆周画正多边形 ９．下列正多边形,通过直尺和圆规不能作出的是(C ) A．正三角形 B．正方形 C．正五边形 D．正六边形 １０．平面上,将边长相等的正三角形、正方形、正五边形、 正六边形 的 一 边 重 合 并 叠 在 一 起,如 图,则 ∠３＋ ∠１－∠２＝　２４°　． 第１０题图 　　　　 第１１题图 １１．将一个边 长 为 １ 的 正 八 边 形 补 成 如 图 所 示 的 正 方 形,这个正方形 的 边 长 等 于 　１＋ ２　．(结 果 保 留 根号) １２．用圆规和直尺在下列圆中分别画出正三角形、正方 形,正 六 边 形 和 正 八 边 形．(不 写 画 法,保 留 作 图 痕迹) 解:略 １３．如图,要把边长为６的正三角形的大理石砖锯去三 个角,得到一个正六边形,求这个正六边形的边长和 内切圆的半径． 解:边长为２,内切圆半径为 ３ 点拨: 可 以 得 到 AD ＝DE ＝BE ＝ １ ３ AB＝２,求 内 切 圆 半 径 时,构 造 直 角三角形求解 ５３ １４．蜂巢的构造非常美丽、科学,如图是由 ７ 个形状、大 小完全相同的正六边形组成的网格,正 六 边 形 的 顶 点称为格点,△ABC 的顶点都在格点上．设定 AB 边 如图所示,则△ABC 是直角三角形的个数有(D ) A．４个 B．６个 C．８个 D．１０个 第１４题图 　　　 第１５题图 １５．如图,☉O 与正六边形OABCDE 的边OA,OE 分别交 于点F,G,则FG ︵ 所 对 的 圆 周 角 ∠FPG 的 大 小 为 　６０　度． １６．如图,正多边形 ABCDE 中,对角线 AD,CE 相交于 F,求证: (１)△AEF 是等腰三角形; (２)四边形 ABCF 是菱形． 证明:(１) 作 正 五 边 形 ABCDE 的 外接圆,则BC ︵ ＝BA ︵ ＝AE ︵, 由 同 一 个圆中等弧对应的圆周角相等,证 得∠AFE＝ ∠BCE＝７２°＝ ∠AEC 即可 (２)由(１)得AB∥CE,BC∥AD,AB＝BC 即可证 １７．如 图,△ABC 是 ☉O 的 内 接 正 三 角 形,五 边 形 ADEFG 是 ☉O 的 内 接 正 五 边 形,求 证:BE 是 ☉O 的内接正十五边形的边长． 证 明: 连 接 OB,OE, ∵ △ABC 是 ☉O 的内接正三角形,∴AB ︵ 的度数 为 １ ３ × ３６０°＝ １２０°, ∵ 五 边 形 ADEFG 是 ☉O 的 内 接 正 五 边 形, ∴AD ︵ ＝DE ︵ ＝ １ ５ ×３６０°＝７２°,BE ︵ ＝１４４°－１２０°＝ ２４°,∴∠BOE＝２４°．∵ 正十五边形的中 心 角 为 ３６０° １５ ＝２４°．∴∠BOE 即为正十五边形的中心角,∴BE 是 ☉O 的内接正十五边形的边长 １８．如图甲、乙、丙、丁,M ,N 分别是 ☉O 的内接正三角 形ABC、正方形