专题训练(一) 求二次函数的表达式的方法-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】华东师大版（教用）

１７　　　 专题训练(一)　求二次函数的表达式的方法 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　利用一般式求二次函数的表达式 １．已知二次函数 的 图 象 经 过 点 (－１,－５),(０,－４)和 (１,１),求这个二次函数的表达式． 解:设这个二次函数的表达式为y＝ax２＋bx＋c(a≠０)． 依题意得 a－b＋c＝－５, c＝－４, a＋b＋c＝１． ì î í ï ï ïï 解得 a＝２, b＝３, c＝－４． ì î í ï ï ïï ∴这个二次函数的表达式为y＝２x２＋３x－４． 类型二　利用顶点式求二次函数的表达式 ２．已 知 抛 物 线 的 顶 点 坐 标 为 (４,－１),与 y 轴 交 于 点 (０,３),求这条抛物线的表达式． 解:设此抛物线的表达式为y＝a(x－４)２－１, 将(０,３)代入得３＝a(０－４)２－１．解得a＝ １ ４ ． ∴这条抛物线的表达式为y＝ １ ４ x２－２x＋３． 类型三　利用交点式求二次函数的表达式 ３．已知抛物线与x 轴交于A(１,０)、B(－４,０)两点,与y 轴交于点C,且 AB＝BC,求此抛物线的表达式． 解:由条件可知AB＝５,OB＝４． 又∵AB＝BC,∴BC＝５． 在 Rt△BCO 中,OC＝ BC２－OB２ ＝ ５２－４２ ＝３, ∴C 点坐标为(０,３)或(０,－３)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－１)(x＋４),将(０,３)代 入得３＝a(０－１)(０＋４),解得a＝－ ３ ４ ;将(０,－３)代 入得－３＝a(０－１)(０＋４),解得a＝ ３ ４ ． ∴这条抛物线的表达式为y＝－ ３ ４ (x－１)(x＋４)或 y＝ ３ ４ (x－１)(x＋４),即y＝－ ３ ４ x２－ ９ ４ x＋３或y＝ ３ ４ x２＋ ９ ４ x－３． 类型四　利用平移式求二次函数的表达式 ４．将抛物线y＝－x２＋x－３向上平移,使平移后的抛 物线经过点(０,２),求平移后的抛物线的表达式． 解:∵y＝－x２＋x－３＝－(x－ １ ２ )２－ １１ ４ , ∴抛物线的对称轴为直线x＝ １ ２ ． ∵将抛物线向上平移, ∴抛物线的开口大小、方向及对称轴不变． ∴设平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－ １ ２ )２＋a． 将(０,２)代入得２＝－(０－ １ ２ )２＋a,解得a＝ ９ ４ ． ∴平移后的抛物线的表达式为y＝－(x－ １ ２ )２＋ ９ ４ , 即y＝－x２＋x＋２． 类型五　灵活运用方法求二次函数的表达式 ５．(一题多解)已知抛物线的顶点坐标为(－２,４),且与 x 轴的一个交点坐标为(１,０),求抛物线的表达式． 解:方法一:设抛物线的表达式为y＝ax２＋bx＋c．依 题意得 － b ２a ＝－２, ４ac－b２ ４a ＝４, a＋b＋c＝０． ì î í ï ï ï ï ï ï 解得 a＝－ ４ ９ , b＝－ １６ ９ , c＝ ２０ ９ ． ì î í ï ï ïï ï ï ïï ∴抛物线的表达式为y＝－ ４ ９ x２－ １６ ９ x＋ ２０ ９ ． 方法二:设 抛 物 线 的 表 达 式 为y＝a(x＋２)２ ＋４, 将 (１,０)代入得０＝a(１＋２)２＋４．解得a＝－ ４ ９ ． ∴这条抛物线的表达式为y＝－ ４ ９ (x＋２)２＋４, 即y＝－ ４ ９ x２－ １６ ９ x＋ ２０ ９ ． 方法三:∵抛物线的顶点坐标为(－２,４),与x 轴的一 个交点坐标为(１,０), ∴抛物线的对称轴为直线x＝－２,与x 轴的另一个 交点坐标为(－５,０)． 设抛物线的表达式为y＝a(x－１)(x＋５),将(－２,４)代 入得４＝a(－２－１)(－２＋５),解得a＝－ ４ ９ ． ∴抛物线的表达式为y＝－ ４ ９ (x－１)(x＋５),即y＝ － ４ ９ x２－ １６ ９ x＋ ２０ ９ ． $