专题训练(三) 二次函数的综合应用(选做)-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】华东师大版（教用）

２９　　　 专题训练(三)　二次函数的综合应用 (本专题的部分习题有难度,可根据实际情况选做!) 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　类型一　二次函数与相似三角形相结合 １．(２０１７􀅰新疆)如图,抛物线y＝－ １ ２ x２＋ ３ ２ x＋２与x 轴交于点A、B,与y 轴交于点C． (１)试求点A、B、C 的坐标; (２)将△ABC 绕AB 中点 M 旋转１８０°,得到△BAD． ①求点D 的坐标; ②判断四边形ADBC 的形状,并说明理由; (３)在该抛物线对称轴上是否存在点 P,使△BMP 与 △BAD 相似? 若存在,请直接写出所有满足条件的 P 点的坐标;若不存在,请说明理由． 解:(１)当y＝０时,即０＝－ １ ２ x２＋ ３ ２ x ＋２,解得x１＝－１,x２＝４,则有A(－１, ０),B(４,０);当x＝０时,y＝２,则C(０, ２)． (２)①过点D 作DE⊥x 轴于点E, ∵将△ABC 绕AB 中点 M 旋转１８０°,得到△BAD, ∴DE＝２,AO＝BE＝１,OM＝ME＝１．５,∴D(３,－２)． ②∵将△ABC 绕AB 中点 M 旋转１８０°,得到△BAD,∴ AC＝BD,AD＝BC,∴四边形ADBC 是平行四边形． ∵AC ＝ １２＋２２ ＝ ５,BC ＝ ２２＋４２ ＝２ ５,AB＝５, ∴AC２＋BC２＝AB２． ∴△ACB 是直角三角形, ∴∠ACB＝９０°． ∴四边形ADBC 是矩形． (３)由题意可得BD＝ ５,AD＝２ ５,则 BD AD ＝ １ ２ ． 当△BMP∽△ADB 时, PM BM ＝ BD AD ＝ １ ２ , 可得BM ＝２．５, 则 PM ＝１．２５, 则 P 点 的 坐 标 即 为 P１(１．５,１．２５)或 P２(１．５,－１．２５),如 图;当 △BMP∽ △BDA 时, BM MP ＝ BD AD ＝ １ ２ ,得 MP＝５,则P 点的坐标 即为P３(１．５,５)或P４(１．５,－５)． 综上所述,P 点的坐标为(１．５,１．２５)或(１．５,－１．２５)或 (１．５,５)或(１．５,－５)． 类型二　二次函数与平行四边形相结合 ２．(２０１７􀅰临沂)如 图,抛 物 线y＝ax２ ＋bx－３ 经 过 点 A(２,－３),与x 轴负半轴交于点B,与y 轴交于点C, 且OC＝３OB． (１)求抛物线的表达式; (２)点D 在y 轴上,且∠BDO＝∠BAC,求点D 的坐标; (３)点 M 在抛物线上,点 N 在抛物线的对称轴上,是 否存在以点 A、B、M 、N 为 顶 点 的 四 边 形 是 平 行 四边形? 若存在,求出所有符合条件的点 M 的坐 标;若不存在,请说明理由． 解:(１)由题意得C(０,－３),∴OC＝３． ∵OC＝３OB,∴OB＝１,∴B(－１,０)． 把A(２,－３),B(－１,０)代入y＝ax２ ＋bx－３得 ４a＋２b－３＝－３, a－b－３＝０,{ ∴ a＝１, b＝－２．{ ∴抛物线的表达式为y＝x２－２x－３． (２)连结AC,作BF⊥AC 交AC 的延长线于点F,如图①． 　 ∵A(２,－３),C(０,－３),B(－１,０) ∴AF ∥x 轴, ∴F (－１, －３), ∴AF ＝BF ＝３, ∴ ∠BAC＝４５°．设 D(０,m),则 OD＝|m|,∵∠BDO＝ ∠BAC,∴∠BDO＝４５°,∴OD＝OB＝１,∴|m|＝１． ∴m＝±１,∴点 D 的坐标为(０,１)或(０,－１)． (３)设 M (a,a２－２a－３),N(１,n)．若存在以点 A、B、 M 、N 为顶点的四边形是平行四边形,则有以下两种 情况:Ⅰ．以 AB 为 边, 则 AB∥MN,AB＝MN, 如 图 ②,ME⊥对称轴于点 E,AF⊥x 轴于点F,则△ABF ≌△NME,∴NE＝AF＝３,ME＝BF＝３．∴|a－１|＝ ３．∴a＝４或a＝－２．∴M (４,５)或(－２,５)． Ⅱ．以AB 为对角线,BN＝AM ,BN∥AM ,如图③,则 N 在x 轴上,M 与C 重合,∴M (０,－３)． 综上所述,存在以点A、B、M 、N 为顶点的四边形是平 行四边形,此时 M 为(４,５)或(－２,５)或(０,－３)． ３０　　　 类型三　二次函数与直角三角形相结合 ３．(２０１７􀅰赤峰)如图,二次函数y＝ax２＋bx＋c(a≠０) 的图象交x 轴于A、B 两点,交y 轴于点 D,点B 的坐 标为(３,０),顶点C 的坐标为(１,４)． (１)求二次函数的表达式和直线BD 的表达式; (２)点 P 是直线BD 上的一个动点,过点 P 作x 轴的 垂线,交抛物线于点 M ,当点 P 在第一象限时,求 线段 PM 长度的最大值; (３)在抛物线上是否存在异于B、D 的点Q