5.4 第1课时 二次函数与一元二次方程之间的关系-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】苏科版（学用）

数学　九年级下(配苏科地区使用) 达式为y＝－ ３(x－２)２＋５３,它向上平移了４ ３个 单位长度． 专题训练(一)　二次函数的图像和性质 １．D　２．D　３．A　４．C　５．C　６．＜ 　７．２　８．(１)将 点 A(２,４)与点 B(６,０)代入y＝ax２＋bx, 得 ４a＋２b＝４, ３６a＋６b＝０,{ 解 得 a＝－ １ ２ , b＝３．{ (２)如 图,过 点 A 作x 轴 的 垂 线,则 垂 足 为 点 D(２,０),连接CD,过点 C 作 CE ⊥ AD,CF ⊥x 轴,垂 足 分 别 为 点 E,F, S△ OAD ＝ １ ２ OD 􀅰 AD ＝ １ ２ ×２×４＝４;S△ACD ＝ １ ２ AD􀅰CE＝ １ ２ ×４×(x－ ２)＝２x－４;由(１)知二次函数表达式为y＝－ １ ２ x２＋ ３x,∴S△ BCD ＝ １ ２ BD 􀅰CF ＝ １ ２ ×４× (－ １ ２ x２ ＋ ３x)＝－x２ ＋６x,则 S＝S△ OAD ＋S△ ACD ＋S△ BCD ＝ ４＋２x－４－x２ ＋６x＝ －x２ ＋８x,∴S 关于x 的函 数表达式为S＝－x２＋８x(２＜x＜６),∵S＝－x２＋ ８x＝－(x－４)２ ＋１６,∴ 当 x＝４ 时,四 边 形 OACB 的面积S 有最大值,最大值为１６．　９．(１＋ ２,２)或 (１－ ２,２)　１０．(１)如图所示,作CE⊥x 轴于点E, ∵四 边 形 ABCD 为 正 方 形,∴ ∠ABO＋ ∠CBE＝ ９０°,∵∠OAB＋ ∠OBA＝９０°,∴ ∠OAB ＝ ∠EBC． 又∵AB＝BC,∴Rt△AOB≌Rt△BEC,∵点 A(０, ２),点B(１,０),∴AO＝２,BO＝１．得 OE＝２＋１＝３, CE＝１．∴点C 的坐标为(３,１)．(２)∵抛物线经过点 C,∴１＝a×３２－a×３－２,∴a＝ １ ２ ,∴抛物线的表 达式为y＝ １ ２ x２ － １ ２ x－２．(３)在抛物线上存在 点 P,Q,使四边形 ABPQ 为正方形． 如图所示,以 AB 为边在 AB 的左 侧 作 正 方 形 ABPQ,过 点 Q 作 QE′⊥OA于点E′,作PG⊥x 轴于 点 G,可 证 △QE′A ≌ △BGP ≌ △AOB,∴QE′＝BG ＝AO ＝２, AE′＝PG＝BO＝１,∴ 点 Q 坐 标 为(－２,１),点 P 坐标为(－１,－１)．由(１)知抛物线y＝ １ ２ x２－ １ ２ x－２, 当x＝－２时,y＝１;当x＝－１时,y＝－１．∴点 P, Q 在抛物线上．故在抛物线上存在点 Q(－２,１),点 P(－１,－１),使四边形 ABPQ 为正方形． １１．(１)依 题 意 得 － b ２a＝－１ , a＋b＋c＝０, c＝３, ì î í ï ï ï ï 解 得 a＝－１, b＝－２, c＝３,{ ∴ 抛 物线的 表 达 式 为 y＝ －x２ －２x＋３．∵ 对 称 轴 为 x＝－１,且抛物线经过 点 A(１,０),∴点 B为(－３, ０),把点 B(－３,０),点 C(０,３)分 别 代 入 直 线y＝ mx＋n,得 －３m＋n＝０, n＝３,{ 解 得 m＝１, n＝３,{ ∴ 直 线 y＝ mx＋n 的表达式为y＝x＋３．(２)∵点 A 关于对称 轴x＝－１的对称点为点 B,又∵点 B,C 在同一直 线上,∴设直线 BC 与对称轴x＝－１的交点为 M , 则此时 MA ＋MC 的 值 最 小．把 x＝ －１ 代 入 直 线 y＝x＋３得,y＝２,∴M(－１,２),即当点 M 到点A 的距离与到 点C 的 距 离 之 和 最 小 时,M 的 坐 标 为 (－１,２)．(３)如 图 所 示,设 P(－１,t),又 ∵B (－３,０), C(０,３),∴BC２ ＝１８,PB２ ＝ (－１＋３)２ ＋t２ ＝４＋t２, PC２＝ (－１)２ ＋ (t－３)２ ＝ t２－６t＋１０．① 若 点 B 为 直 角 顶 点,则 BC２ ＋PB２ ＝ PC２,即 １８＋４＋t２ ＝t２ － ６t＋１０,解 得t＝ －２;② 若 点C 为直角顶点,则BC２＋ PC２＝PB２,即１８＋t２－６t＋１０＝４＋t２,解得t＝４; ③若点P 为直角顶点,则PB２＋PC２＝BC２,即４＋ t２ ＋t２ －６t＋１０＝１８,解 得 t１ ＝ ３＋ １７ ２ ,t２ ＝ ３－ １７ ２ ．综 上 所 述 点 P 的 坐 标 为 (－１,－２)或 (－１,４)或(－１, ３＋ １７ ２ )或(－１, ３－ １７ ２ )． ５．４　二次函数与一元二次方程 第１课时　二次函数与一元二次方程之间的关系 １．D　２．C　３．x１ ＝ １ ２ ,x２ ＝１　４．(１)证 明:∵Δ＝ (－２m)２ －４