专题训练(一) 用不同的方法确定二次函数的表达式-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】湘教版（教用）

专题训练(一)　用不同的方法确定二次函数的表达式 类型一　根据二次函数的规律确定二次函数的表达式 １．如图,已知抛物线y＝ax２＋bx＋c 与x 轴交于点A (１,０),B(３,０),且过点C(０,－３)． (１)求抛物线的表达式和顶点坐标; (２)请你写出一种平移的方法,使平移后抛物线的顶 点落在直线y＝－x 上,并写出平移后抛物线的表 达式． 解:(１)抛 物 线 的 表 达 式 为y＝－x２ ＋４x－３,顶点坐标为(２,１) (２)先向左平移２个单位,再向下平 移１个单位,得到的抛物线的表达式 为y＝－x２,平移后抛物线的顶点为(０,０),它落在直 线y＝－x 上(答案不唯一) ２．如图,在▱ABCD 中,AB＝４,点 D 的坐标是(０,８), 以点C 为顶点的抛物线y＝ax２＋bx＋c 经过x 轴上 的点A,B． (１)求点 A,B,C 的坐标; (２)若抛物线向上平移后恰好经过点 D,求平移后抛 物线的函数表达式． 解:(１)A(２,０),B(６,０),C(４,８) (２) 设 过 A,B,C 三 点 的 抛 物 线 的 表 达式为y＝a(x－４)２＋８,则有a(２－ ４)２＋８＝０解得a＝－２,∴y＝－２(x －４)２＋８,设平移后过 D 点的表达式为y＝－２(x－ ４)２＋k,则k＝８＋２(０－４)２＝４０,∴过 D 点的抛物线 的表达式为y＝－２(x－４)２＋４０ 类型二　利用对称、翻折等图形的变化规律确定二次函 数的表达式 ３．关于抛 物 线 y＝x２ ＋bx＋c 的 图 像如图所示,则它关于y 轴对称的 抛物线 的函数表达式是　y＝x２＋ ４x＋３　． ４．在同一平面 直 角 坐 标 系 内,有 下 列 ４ 个 函 数:①y＝ ２(x＋１)２－１;②y＝２x２＋３;③y＝－２x２－１;④y＝ １ ２ x２－１．其图象不可能由函数y＝２x２＋１的图象通 过平移变 换、轴 对 称 变 换 得 到 的 函 数 是　 ④ 　．(填 序号) ５．在平面直角坐标系中,先将抛物线y＝x２＋x－２ 关 于x 轴作轴对称变换,再将所得的抛物线关于y 轴作 轴对称变换,那么经两次变换后所得的新抛物线的表 达式为 (B ) A．y＝－x２－x＋２ B．y＝－x２＋x＋２ C．y＝－x２＋x－２ D．y＝x２＋x＋２ ６．将抛物线C１:＇y＝ １ ９ (x＋t)２－２沿x 轴翻折,得到抛 物线C２．若抛物线路 C１ 的顶点在直线y＝x＋１上, 求抛物线C２ 的函数表达式． 解:由题意知,C１ 与C２ 关于x 轴对称,∵C１:y＝ １ ９ (x ＋t)２－２,∴C２:y＝－ １ ９ (x＋t)２＋２,∵C１ 的顶点坐 标为(－t,－２)在直线y＝x＋１,∴－t＋１＝－２,解得 t＝３,∴C２ 的表达式为y＝－ １ ９ (x＋３)２＋２ ７１ 类型三　用待定系数法确定二次函数的表达式 ７．已知二次函数的图象经过点 A(－２,４),B(４,４),且 函数有最大值１３,求这个二次函数的表达式． 解:对称轴是直线x＝１,顶点是(１,１３),设y＝a(x－ １)２＋１３,由题意可得a＝－１,故y＝－(x－１)２＋１３ ＝－x２＋２x＋１２ ８．如图,已知二次函数y＝x２＋mx＋n 的 图 象 经 过A (０,３),且对称轴是直线x＝２． (１)求该函数表达式; (２)在抛物线上找到点 P,使△PBC 的面积是△ABC 的面积的 ２ ３ ,求出点 P 的坐标． 解:(１)y＝x２－４x＋３ (２)设 点 P 坐 标 为 (x,y),由 题 意 得 到 １ ２ BC􀅰|y|＝ ２ ３ × １ ２ BC􀅰OA＝２, 即|y|＝ ２ ３ OA＝２．又∵y＝x２－４x＋ ３＝(x－２)２－１,最小值为－１,∴y＝２,∴x２－４x＋３ ＝２,解得x＝２± ３,∴点P 的坐标是(２± ３,２) 类型四　根据几何图形的性质确定二次函数的表达式 ９．如图,在平面直角坐标系中,正方形 OABC 的边长为 ２cm,点 A,C 分别在y 轴的负半轴和x 轴的正半轴 上,抛物线经过点 A,B 和D(４,－ ２ ３ )．求抛物线的表 达式． 解:y＝ １ ６ x２－ １ ３ x－２ １０．如图,直线y＝x＋２与x 轴交于点A,与y 轴交于 点B,AB ⊥BC,且 点 C 在x 轴 上,若 抛 物 线 y＝ ax２＋bx＋c 以C 为顶点,且经过点 B,求这条抛物 线对应的函数表达式． 解:由已 知 可 求 得 A(－２,０),B (０,２),C(２,０),设抛物线对应的 函数表达式为y＝a(x－２)２,过 点B(０,２),可 以 得 到a＝ １ ２ ,∴ 此抛物线对应的函数表达式为y＝ １ ２ (x－２)２,即y ＝ １ ２ x２－２x＋２ 类型五　自定义确定二