专题课堂(二) 反比例函数的综合应用-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】人教版（教用）

专题课堂(二)　反比例函数的综合应用 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、反比例函数与一次函数的综合应用 【例１】如图,已知反 比 例 函 数y＝ k x 与一次函数y＝x＋b 的图象在第一 象限相交于点A(１,－k＋４)． (１)试确定这两个函数的解析式; (２)求出这两个函数图象的另一个交点 B 的坐标,并求 △AOB 的面积． 分析:(１)首先把 A 点坐标代入反比例函 数 的 解 析 式 中 求出k 的值,然 后 再 把 A 点 坐 标 代 入 一 次 函 数 解 析 式 中求出b 的值;(２)将两个解析式联立列出方程组,求出 点B 坐标,再求 出 点 C 坐 标,把 △AOB 的 面 积 转 化 成 △AOC 的面积＋△COB 的面积即可． 解:(１)∵点A(１,－k＋４)在反比例函数y＝ k x 上,∴－ k＋４＝k,解得k＝２,故反比例函数的解析式为y＝ ２ x ． ∵A(１,２)在一次函数y＝x＋b 的图象上,∴２＝１＋b, 解得b＝１,故一次函数的解析式为y＝x＋１　(２)由题 意 得 y＝ ２ x , y＝x＋１, ì î í ïï ïï 解 得 x＝－２, y＝－１{ 或 x＝１, y＝２,{ ∴B(－２, － １),易求C(－１,０),∴S△AOB ＝S△AOC ＋S△COB ＝ １ ２ ×１× ２＋ １ ２ ×１×１＝ ３ ２ [对应训练] １．一次 函 数 y＝kx＋b(k≠０)与 反 比 例 函 数 y＝ k x (k≠０)在同一平面直角坐标系上的大致图象如图所 示,则k,b 的取值范围是 (C ) A．k＞０,b＞０　　　　　　B．k＜０,b＞０ C．k＜０,b＜０ D．k＞０,b＜０ 第１题图 　　　 第２题图 ２．(２０１９􀅰衡阳)如图,一次函数y１＝kx＋b(k≠０)的图 象与反比例函数y２＝ m x (m 为常数且m ≠０)的图象 都经 过 A (－１,２),B(２,－１),结 合 图 象,则 不 等 式 kx＋b＞ m x 的解集是 (C ) A．x＜－１ B．－１＜x＜０ C．x＜－１或０＜x＜２ D．－１＜x＜０或x＞２ ３．如 图,直 线 y＝x＋a－２ 与 双 曲 线 y＝ ４ x 交于A,B 两点,则当线段AB 的 长度取最小值时,a 的值为 (C ) A．０ B．１ C．２ D．５ ４．(２０１９􀅰广东)如图,一次函数y＝kx＋b 的图象与反 比例函数y＝ k２ x 的图象相交于A,B 两点,其中点 A 的坐标为(－１,４),点B 的坐标为(４,n)． (１)根据图象,直接写出满足kx＋b＞ k２ x 的x 的取值 范围; (２)求这两个函数的表达式; (３)点 P 在线段AB 上,且S△AOP∶S△BOP ＝１∶２,求点 P 的坐标． 解:(１)∵点A 的坐标为(－１,４), 点 B 的 坐 标 为 (４,n)．由 图 象 可 得:kx＋b＞ k２ x 的x 的取值范围是 x＜－１ 或 ０＜x＜４　 (２)∵反 比 例函数y＝ k２ x 的图象过点A(－１,４),B(４,n),∴k２＝ －１×４＝－４,k２＝４n,∴n＝－１, ∴B(４,－１),∵一次函数y＝kx ＋b 的 图 象 过 点 A, 点 B, ∴ －k＋b＝４, ４k＋b＝－１,{ 解 得:k＝ －１,b＝ ３,∴直线解析式y＝－x＋３,反比例函数的解析式为 y＝－ ４ x 　(３)设直线AB 与y 轴的交点为C,∴C(０, ３),∵S△AOC ＝ １ ２ ×３×１＝ ３ ２ ,∴S△AOB ＝S△AOC ＋S△BOC ＝ １ ２ ×３×１＋ １ ２ ×３×４＝ １５ ２ ,∵S△AOP∶S△BOP ＝１∶２, ∴S△AOP ＝ １５ ２ × １ ３ ＝ ５ ２ ,∴S△COP ＝ ５ ２ － ３ ２ ＝１,∴ １ ２ × ３􀅰xP ＝１,∴xP ＝ ２ ３ ,∵点P 在线段AB 上,∴y＝－ ２ ３ ＋３＝ ７ ３ ,∴P( ２ ３ ,７ ３ ) ０１ 二、反比例函数与二次函数的综合应用 【例２】(２０１９􀅰深圳)已知y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的图 象如图,则y＝ax＋b 和y＝ c x 的图象为 (C ) 分析:根 据 二 次 函 数y＝ax２＋bx＋c(a≠０)的 图 象 可 以得到a＜０,b＞０,c＜０,由 此 可 以 判 定y＝ax＋b 经 过第一、二、四象限,双曲线y＝ c x 在第二、四象限． [对应训练] ５．抛物线y＝ax２＋bx＋c(a＜０)与双曲线y＝ k x 相交 于点A,B,且 抛 物 线 经 过 坐 标 原 点,点 A 的 坐 标 为 (－２,２),点B 在第四象限内,过点 B 作直线BC∥x 轴,点 C 为直线与抛物线的另一交点,已知直线 BC 与x 轴之间