专题课堂(三) 相似三角形的基本模型-2020-2021学年九年级下册初三数学【黄冈100分闯关】人教版（教用）

专题课堂(三)　相似三角形的基本模型 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　一、“A”字型 【例１】如图,△ABC 是边长为３的等边三角形,点 E,F 分 别 在 AC,BC 边 上,连 接 AF,BE 相 交 于 点 P, ∠APE＝６０°． (１)求证:△APE∽△ACF; (２)若 AE＝１,求 AP􀅰AF 的值． 分析:(１)由 △ABC 是 等 边 三 角 形 得 到∠C＝６０°,从 而 可 由 两 角 相 等 判 定 三角 形 相 似;(２)由 三 角 形 相 似 得 到 AE AF ＝ AP AC ,代入数据可求AP􀅰AF 的 值． 解:(１)∵△ABC 是等边三角形,∴∠C＝６０°,∵∠APE ＝６０°,∴∠C＝∠APE,又∵∠PAE＝∠CAF,∴△APE ∽△ACF　(２)∵△APE∽ △ACF,∴ AE AF ＝ AP AC ,∴AP 􀅰AF＝AE􀅰AC＝３ [对应训练] １．如图,在△ABC 中,BE 平分∠ABC 交AC 于点E,过 点E 作ED∥BC 交AB 于点D． (１)求证:AE􀅰BC＝BD􀅰AC; (２)如果S△ADE ＝３,S△BDE ＝２,DE＝６,求BC 的长． 解: (１) ∵ BE 平 分 ∠ABC, ∴ ∠ABE ＝ ∠CBE, ∵DE ∥BC, ∴ ∠DEB ＝ ∠CBE, ∴ ∠ABE ＝ ∠DEB,∴BD ＝DE．∵DE ∥BC, ∴△ADE ∽ △ABC, ∴ AE AC ＝ DE BC , ∴ AE AC ＝ BD BC ,∴AE 􀅰BC＝BD 􀅰AC　 (２) 设 △ABE 中边AB 上的高为h,∴ S△ADE S△BDE ＝ １ ２ AD􀅰h １ ２ BD􀅰h ＝ AD BD ＝ ３ ２ , ∵△ADE∽△ABC,∴ DE BC ＝ AD AB ,∴ ６ BC ＝ ３ ５ ,∴BC＝ １０ 二、“X”字型 【例２】如 图,在 ▱ABCD 中,E 是 AD 上 的 一 点,已 知 AE∶ED＝２∶１,AO＝４,求OC 的长． 分析:先利 用 平 行 四 边 形 的 性 质 得 到 AD ＝ BC,AD ∥ BC,证 明 △AOE ∽ △COB,再 由 AE ∶ ED＝２∶１得到 AE∶BC＝２∶３,利用相似比可计算出 OC 的长． 解:∵ 四 边 形ABCD 为 平 行 四 边 形, ∴AD ∥BC, ∴ △AOE∽△COB,∴ AO OC ＝ AE BC ,又∵AE∶ED＝２∶１,∴ AE∶AD＝２∶３,又∵AD＝BC,∴AE∶BC＝２∶３,∴ AO OC ＝ ２ ３ ,又∵AO＝４,∴OC＝６ [对应训练] ２．如图,在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别是边CB,DC 延长线上的点,且 BE＝CF,连 接 AE,FB,FB 的 延 长线交AE 于 点 M ．求 证:(１)△BEM ∽ △BFC;(２) CF２＝FB􀅰ME． 解:(１)∵四边形ABCD 是正方形,∴ AB＝BC, ∠ABC＝ ∠BCD ＝９０°,∴ ∠ABE ＝ ∠BCF ＝９０°, 又 ∵BE ＝ CF, ∴ △ABE ≌ △BCF (SAS), ∴ ∠E＝∠F,又∵∠EBM ＝∠FBC,∴ △BEM ∽ △BFC 　 (２) 由 (１) 得 △BEM ∽△BFC,∴ BE BF ＝ ME CF ,∵BE＝CF,∴ CF FB ＝ ME CF ,即CF２＝FB􀅰ME 三、旋转型 【例３】如 图, AB AD ＝ BC DE ＝ AC AE , B,D,F,E 在同一条直线上,请 找出图中的相似三角形,并说明 理由． 分析:根 据 三 边 成 比 例 的 两 个 三 角 形 相 似,即 可 证 得 △ABC∽ △ADE,可 得 ∠BAD ＝ ∠CAE,又 由 两 边 成 比例 且 夹 角 相 等 的 两 个 三 角 形 相 似,即 可 证 得 △BAD∽△CAE,可 得 ∠ABD ＝ ∠ACE．由 ∠ACB ＝ ∠AED,∠AFE＝∠BFC,可 证 得 △AFE∽△BFC．由 ∠AFB＝ ∠EFC,∠ABF ＝ ∠ECF,可 证 得 △ABF∽ △ECF． 解:① ∵ AB AD ＝ BC DE ＝ AC AE , ∴ △ABC ∽ △ADE; ② ∵ △ABC ∽ △ADE, ∴ ∠BAC ＝ ∠DAE, ∠ACB ＝ ∠AED,∴∠BAD ＝ ∠EAC,又 ∵ AB AC ＝ AD AE ,∴ △BAD ∽△CAE; ③ ∵ ∠AFE ＝ ∠BFC, ∠AED ＝ ∠ACB, ∴ △AFE∽ △BFC; ④ ∵ △BAD ∽ △CAE, ∴ ∠ABD ＝ ∠ECA,又∵∠AFB＝∠EFC,∴△ABF∽△ECF ３３ [对应训练] ３．如图,在△ABC 和△AED 中