突破4.2.1 等差数列的概念重难点突破-【新教材优创】突破满分数学之2020-2021学年高二数学重难点突破（人教A版2019选择性必修第二册）

突破4.2.1 等差数列的概念 一、考情分析 二、经验分享 1、数列的概念：数列是一个定义域为正整数集N*（或它的有限子集｛1,2，3，…，n｝）的特殊函数，数列的通项公式也就是相应函数的解析式。 ①等差数列定义：定义法 或 。 ②分类：若公差 ，则为递增等差数列，若公差 ，则为递减等差数列，若公差 ，则为常数列。 2、等差数列的判断方法：定义法 或 3、等差数列的通项： 或 。 ①当 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ； 4、等差数列的前 和： ， 。 ①前 和 是关于 的二次函数且常数项为0. 5、等差中项：若 成等差数列，则A叫做 与 的等差中项，且 。 ①当 时,则有 ，特别地，当 时，则有 . 6、若 是等差数列 ， ，…也成等差数列. 三、题型分析 重难点题型突破1、 等差数列的概念及其定义 一般地，如果一个数列从______________，相邻每一项与它的前一项的差等于同一个______________，那么这个数列就叫做______________，这个常数叫做等比数列的公差；公比通常用字母________表示， 即：____________________________或____________________________。 特别注意：证明或判断等差数列 ____________________________。 例1．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺， 重二斤．”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤”，若该金锤从头到尾 每一尺的重量构成等差数列，该金锤共重多少斤？（ ） A．6斤 B．7斤 C．9斤 D．15斤 【答案】D 【解析】因为每一尺的重量构成等差数列 ， ， ， ， 数列的前5项和为 ．即金锤共重15斤，故选D． 【名师点睛】本题主要考查等差数列求和公式的应用，意在考查运用所学知识解答实际问题的能力，属于基础题.求解时，直接利用等差数列的求和公式求解即可. 【变式训练1】．（2021·河南信阳市·高二期末（理））已知 均为等差数列，且 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 根据两个等差数列相加后仍为等差数列，然后由等差数列的通项公式求解． 【详解】 数列 是以 为首项， 为公差的等差数列 故选：C． 【变式训练2】．（2021·全国高二单元测试）数列{ }的前4项依次是20，11，2，-7，{ }的一个通项公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 由等差数列的特点以及等差数列的通项公式即可求解 ． 【详解】 由已知可看出数列{ }为等差数列，首项为20，公差为-9， 由等差数列的通项公式可得 . 故选：B 【变式训练3】．在等差数列中,已知,则_____． 【答案】20 【解析】 依题意，所以． 或： 【变式训练4】．设数列 都是等差数列，若 ， ，则 ____． 【答案】35 【解析】（解法一）因为数列 都是等差数列，所以数列 也是等差数列．故由等差中项的 性质，得 ，即 ，解得 ． （解法二）设数列 的公差分别为 , 因为 EMBED Equation.DSMT4 EMBED Equation.DSMT4 所以 .所以 . 重难点题型突破2、等差数列的通项公式 等差数列的通项公式：____________________________或____________________________。 ①当 时，等差数列的通项公式 是关于 的一次函数，且斜率为公差 ； ②若公差 ，则为递增等差数列；若公差 ，则为递减等差数列；若公差 ，则为常数列。 例2．【福建省龙岩市（漳州市)2019届高三5月月考数学试题】在等差数列 中， ， ，则 （ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】在等差数列{an}中，由 得5a7＝100，即 ，又由 ，得4d=12，即d=3，所以 2.故选B. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础的计算题．由已知结合等差数列的性质求得a7的值，列关于 的方程组求解即可. 【变式训练1】．（2021·江苏南通市·海门市第一中学高三期末）（多选题）在悠久灿烂的中国古代文化中，数学文化是其中的一朵绚丽的奇葩.《张丘建算经》是我国古代有标志性的内容丰富的众多数学名著之一，大约创作于公元五世纪.书中有如下问题：“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈，问日益几何？”.其大意为：“有一女子擅长织布，织布的速度一天比一天快，从第二天起，每天比前一天多织相同数量的布，第一天织5尺，一个月共织了九匹三丈，问从第二天起，每天比前一天多织多少尺布