高中必修1-5错误解题分析系列《第九章 计数原理与概率》（打包5份）

§9.3 二项式定理 一、知识导学 1.二项式定理： 上列公式所表示的定理叫做二项式定理. 右边的多项式叫做 的二项展开式，它一共有ｎ＋1项. 其中各项的系数 叫做二项式系数. 式中的 叫做二项展开式的通项，用 表示， 即 ＝ . 2.二项式系数的性质： 　（1）对称性.与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.事实上，这一性质可直接由公式 得到.　 　（2）增减性与最大值. 二项式系数 ，当ｒ＜ 时，二项式系数是逐渐增大的.由对称性知它的后半部分是逐渐减小的，且在中间取得最大值.当ｎ是偶数时，中间的一项取得最大值；当ｎ是奇数时，中间的两项相等，且同时取得最大值. 　（3）各二项式系数的和. 的展开式的各个二项式系数的和等于 . 二、疑难知识导析 1．二项式定理是代数公式 　和 　　的概括和推广，它是以乘法公式为基础，以组合知识为工具，用不完全归纳法得到的.同学们可对定理的证明不作要求，但定理的内容必须充分理解. 2．对二项式定理的理解和掌握，要从项数、系数、指数、通项等方面的特征去熟悉它的展开式.通项公式 ＝ 在解题时应用较多，因而显得尤其重要，但必须注意，它是 的二项展开式的第ｒ＋1项，而不是第ｒ项. 3．二项式定理的特殊表示形式 （1） . 　　这时通项是 ＝ EMBED Equation.3 . （2） . 　　这时通项是 ＝ . （3） . 　　　即各二项式系数的和为 . 4．二项式奇数项系数的和等于二项式偶数项系数的和.即 　　 三、经典例题导讲 [例1]已知 ， 　　求 的值. 错解：由二项展开式的系数的性质可知： 的展开式的各个二项式系数的和等于 ，显然， 就是展开式中的 ，因此 的值为 －1. 错因：上述解答忽略了 是项的系数，而不是二项式系数. 正解：由二项展开式的结构特征， 是项的系数，而不是二项式系数.观察式子特征，如果 ＝1，则等式右边为 ，出现所求式子的形式，而 就是展开式中的 ，因此 EMBED Equation.3 ，即 1＝1＋ ，所以， ＝0 评注　这是二项式定理的一个典型应用—赋值法，在使用赋值法时，令 、ｂ等于多少，应就具体问题而定，有时取“1”，有时取“－1”，或其他值. [例2]在多项式 的展开式中，含 项的系数为　　　　. 错解：原式＝ ＝ 　　 ∴ 项的系数为0. 错因：忽视了ｎ的范围，上述解法得出的结果是在ｎ不等于6的前提下得到的，而这个条件并没有提供. 正解：原式＝ ＝ 　　 ∴当ｎ≠6时， 项的系数为0. 　当ｎ＝6时， 项的系数为1 说明：本解法体现了逆向运用二项式定理的灵活性，应注意原式中对照二项式定理缺少 这一项. [例3] 的末尾连续零的个数是 ( ) A．7 B．5 C．3 D．2 解： 上述展开式中，最后一项为1；倒数第二项为1000；倒数第三项为495000，末尾有三个0；倒数第四项为16170000，末尾有四个0；依次前面各项末尾至少有四个0.所以 的末尾连续零的个数是3.　　　故选C. [例4] 已知 的展开式前三项中的 的系数成等差数列. 　（1）求展开式中所有的 的有理项； 　（2）求展开式中系数最大的项. 解：（1）展开式前三项的系数分别为 . 由题设可知： 　　　　解得：ｎ＝8或ｎ＝1（舍去）. 　当ｎ＝8时， ＝ . 　据题意，4－ 必为整数，从而可知 必为4的倍数， 而0≤ ≤8，∴ ＝0,4，8. 　　故 的有理项为： ， ， . （2）设第 ＋1项的系数 最大，显然 ＞0， 故有 ≥1且 ≤1. ∵ ＝ ， 由 ≥1，得 ≤3. ∵ ＝ ， 由 ≤1，得 ≥2. 　　∴ ＝2或 ＝3，所求项分别为 和 . 评注：1.把握住二项展开式的通项公式，是掌握二项式定理的关键，除通项公式外，还应熟练掌握二项式的指数、项数、展开式的系数间的关系、性质. 　2.运用通项公式求二项展开的特定项，如求某一项，含 某次幂的项，常数项，有理项，系数最大的项等，一般是运用通项公式根据题意列方程，在求得ｎ或ｒ后，再求所需的项（要注意ｎ和ｒ的数值范围及大小关系）. 　3.注意区分展开式“第 ＋1项的二项式系数”与“第 ＋1项的系数”. [例5]已知 的展开式中含 项的系数为24，求展开式中含 项的系数的最小值. 解：解法一　由 中含 项的系数为24，可得 　　 .从而， . 设 中含 项的系数为ｔ，则 　ｔ＝ . 把 代入上式，得 　ｔ＝ . ∴当ｎ＝6时，ｔ的最小值为120，此时ｍ＝ｎ＝6. 解法二　由已知 ， 设 中含 项的系数为ｔ，则 ｔ＝ ≥2 ＝2（72－12）＝120. 当且仅当ｍ＝ｎ＝6时，ｔ有最小值120. ∴ 展开式中含 项的系数的最小值为120. 评注：